Основы электродинамики (стр. 7 )

Осесимметричные сферические гармоники (m = 0) определяются обычными полиномами Лежандра, выражения для которых можно получить путем дифференцирования производящей функции (Формула Родрига):

Во внешней задаче l = 0 соответствует потенциалу электрического монополя (точечного заряда в начале координат), l = 1 – потенциалу электрического диполя, ориентированного вдоль полярной оси сферической системы координат, l = 2 – потенциалу осесимметричного квадруполя, ориентированного вдоль полярной оси, и т. д. Во внутренней задаче l = 0 соответствует постоянному потенциалу, l = 1 – потенциалу постоянного электрического поля, направленного вдоль полярной оси сферической системы координат, l = 2 – потенциалу осесимметричного квадруполя, и т. д.

3.5.3. Разделение переменных в цилиндрических координатах.

Решения уравнения Лапласа, полученные путем разделения переменных в цилиндрических координатах , в общем случае выражаются в виде произведений гармонических функций азимутального угла , экспоненциальных зависимостей от координаты z (с действительным или мнимым показателем экспоненты) и функции Бесселя от радиальной координаты r (с мнимым или действительным аргументом). В случае, когда зависимость от координаты z отсутствует общее решение принимает достаточно простой вид:

, (3.12)

где для внутренней задачи все коэффициенты Am обращаются в нуль, а для внешней задачи все коэффициенты Bm обращаются в нуль.

Помимо приведенных решений в «разделенных переменных» для декартовых (3.8), сферических (3.9) и цилиндрических (3.12) координат существуют и другие решения, не описываемые приведенными соотношениями. Простейшими примерами являются потенциалы, линейно зависящие от декартовых координат (однородное электрическое поле). Другие типы решений в разделенных переменных могут возникать, когда угловые переменные в цилиндрических или сферических координатах меняются в ограниченных пределах, задаваемых граничными условиями.

В качестве примера использования метода разделения переменных для нахождения поля в присутствии диэлектрических тела приведем решение двух эталонных задач об искажениях, вносимых в заданное внешнее однородное поле однородным диэлектрическим шаром и круговым цилиндром.

Пусть центр шара радиуса с диэлектрической проницаемостью расположен в начале координат на оси . Диэлектрическая проницаемость окружающей среды равна . Внешнее поле в отсутствие шара однородно и направлено параллельно оси z. В силу осевой симметрии задачи искомое поле в сферической системе координат с полярной осью z есть функция двух переменных: радиуса (расстояния до центра шара) и полярного угла , образуемого радиусом с полярной осью, и не зависит от азимутального угла . На границе шара () искомый потенциал должен удовлетворять граничным условиям

) и ,

а при искомое поле должно переходить в заданное внешнее поле , потенциал которого представляет собой частное решение уравнения Лапласа, отвечающее тому слагаемому в разложении (3.10), для которого , m = 0. Поэтому потенциал внутри и вне шара (с учетом требования его конечности при и при ) должен соответственно представляться в виде

, ,

Константа определяет дипольный момент шара , а константа – поле внутри шара . Определяя значения этих констант из приведенных выше граничных условий для потенциала и его производной, находим:

, .

Таким образом, поле внутри шара однородно, а поле вне его есть сумма заданного внешнего поля и поля точечного диполя с моментом , расположенного в центре шара.

Решение аналогичной задачи для бесконечно длинного цилиндра радиуса , расположенного перпендикулярно внешнему однородному полю , выполняемое методом разделения переменных в полярных координатах в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, приводит к следующим выражениям для дипольного момента единицы длины цилиндра и поля внутри него:

, .

3.6. Метод конформных преобразований

Суть метода конформных преобразований, позволяющего находить большое количество довольно сложных решений двумерных задач электростатики, состоит в следующем. Если на плоскости x, y ввести комплексную переменную и сделать конформное преобразование w = u(x,y) + iv(x,y) = f(z) (где f(z) произвольная аналитическая функция) этой плоскости на плоскость комплексных переменных u, v, то семейство линий u(x,y) = С1 на плоскости xy всюду ортогонально семейству линий v(x,y) = С2, а сами функции u(x,y) и v(x,y) всюду удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа. Любую из функций, например, u(x,y) можно принять за двумерное распределение потенциала, тогда семейство линий u(x,y) = С1 определяет систему эквипотенциалей; второе семейство линий v(x,y) = С2 определяет силовые линии электростатического поля, причем функция v(x,y) представляет собой функцию потока электрического поля. Если поперечное сечение двумерного проводника c заданным потенциалом представляет собой некоторый контур L в плоскости x, y, то для нахождения потенциала (удовлетворяющего на этом контуре условию ) при помощи рассматриваемого метода необходимо найти такую аналитическую функцию , которая преобразовывала бы контур L в комплексной плоскости z в линию , параллельную оси ординат в плоскости . Тогда действительная часть этой функции u(x,y) и будет представлять собой искомый потенциал (поскольку она удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию постоянства потенциала на контуре).

3.7. Теорема взаимности

Для распределений заряда, потенциал которых достаточно быстро спадает на бесконечности (, где С – ограниченная постоянная, а α > 1/2), в электростатике справедлива теорема взаимности: если в безграничной среде (в общем случае неоднородной) распределение заряда r1(r) создает распределение потенциала j1(r), а распределение заряда r2(r) создает в той же среде распределение потенциала j2(r), то

. (3.13)

Теорема взаимности (3.13) справедлива и при наличии поверхностных, линейных и точечных зарядов, если при определении r(r) использовать d - функции соответствующего порядка. В частном случае для системы точечных зарядов и проводников заданной формы с фиксированным положением в пространстве теорема взаимности принимает вид: