Основы электродинамики (стр. 22 )

. (10.22)

Соответствующая интенсивность излучения (средняя по времени плотность потока энергии в радиальном направлении) обратно пропорциональна квадрату расстояния до диполя, а средняя излучаемая мощность (поток энергии через замкнутую поверхность, окружающую диполь) в согласии с законом сохранения энергии не зависит от :

, (10.23)

. (10.24)

Обратим внимание на характерную для дипольного излучения угловую зависимость интенсивности (диаграмму направленности) Интенсивность не зависит от азимутального угла , максимальна для направлений, перпендикулярных вектору () и обращается в нуль на оси диполя ( и )

Если рассматривать в качестве модели дипольного излучателя отрезок провода длины , в котором возбужден переменный ток с заданной амплитудой (при этом ), то его излучающую способность можно характеризовать эквивалентным сопротивлением излучения , поглощающим при данном токе среднюю мощность , равную средней излучаемой мощности (10.24):

. (10.25)

Последующие члены разложения вектор-потенциала определяют поля точечных электрических и магнитных мультиполей. Как и для первого члена разложения, в зоне квазистатики эти поля близки к полям соответствующих статических мультиполей, а в волновой зоне (определяемой для мультиполя -го порядка условием ), представляют собой расходящиеся сферические волны с тем же законом () убывания амплитуды по радиусу, но, вообще говоря, с более сложной зависимостью от угловых координат. В частности, удерживая в разложении вектор-потенциала в волновой зоне наряду с дипольным членом (10.20) также и члены второго порядка малости по параметру , находим:

, (10.26)

где второе и третье слагаемые определяются квадрупольным и магнитным дипольным моментами рассматриваемой системы токов:

, , (10.27)

– вектор с компонентами (), – декартова проекция единичного радиуса-вектора (нормали к поверхности сферического волнового фронта) на ось . Тензор электрического квадрупольного момента и вектор магнитного дипольного момента определяются формулами (2.16а), (5.14).. Заметим, что в формуле (10.26) опущен добавочный член, формально присутствующий в разложении общего выражения (10.9), но не дающий вклада в поле в волновой зоне. Вектор-потенциалу (10.26) отвечают следующие выражения для векторов поля:

, (10.28)

. (10.29)

Поля электрического и магнитного диполей, определяемые соответственно первыми и последними слагаемыми в выражениях (10.28), (10.29), могут быть получены одно из другого путем замены являющейся выражением сформулированного выше принципа перестановочной двойственности (10.15) для полей и токов в вакууме. В силу этого, излучения линейно поляризованных магнитного и электрического диполей имеют одну и ту же диаграмму направленности () и различаются лишь ориентацией векторов поля. Диаграмма направленности квадрупольного излучения имеет более сложный характер. В случае, если все компоненты тензора квадрупольного момента колеблются в одинаковой фазе, существуют сечения (плоскости, проходящие через источник), в которых диаграмма имеет четыре «лепестка», т. е. четыре максимума, разделенных четырьмя линиями нулевого излучения. В частности, для осесимметричного квадруполя, образуемого зарядами, колеблющимися вдоль полярной оси , интенсивность излучения

, (10.30)

так что в любой плоскости, проходящей через ось , например, в плоскости излучение максимально в направлениях биссектрис каждого из четырех квадрантов плоскости и отсутствует в положительных и отрицательных направлениях координатных осей.

Полная излучаемая мощность в рассматриваемом приближении

. (10.31)

В сравнении с мощностью, излучаемой электрическим диполем, мощности квадрупольного и магнито-дипольного излучения при одинаковых характерных силах тока являются величинами второго порядка малости по параметру, однако они оказываются преобладающими, если электрический дипольный момент системы близок к нулю.

Необходимо отметить, что разложение полей произвольной системы источников по степеням вообще говоря не совпадает с их разложением по типам поляризации и углового распределения излучения. Членам различного порядка по могут соответствовать (как в волновой, так и в ближней зоне при ) поля одного и того же типа. В частности, поле электро-дипольного типа (10.22), отвечающее первому члену рассмотренного разложения, может быть создано системой токов с равным нулю электрическим дипольным моментом (10.21) (и вообще с ), если эта система имеет отличный от нуля анапольный (или тороидный) момент

, (10.32)

определяемый по аналогии с магнитным дипольным моментом (5.14) для магнитных токов на основании принципа перестановочной двойственности (с заменой , ) .

Однозначное и последовательное представление полей произвольной системы источников в виде суперпозиции волн, различающихся типом углового распределения и поляризации, достигается путем их разложения по векторным сферическим волнам. Поля этих волн, удовлетворяющие необходимым для такого разложения свойствам полноты и ортогональности, выражаются как результат действия векторных дифференциальных операторов на скалярные функции вида:

, (10.33)

представляющие собой частные решения скалярного уравнения Гельмгольца, получаемые путем разделения переменных в сферической системе координат . В определении этих функций – сферическая функция Ханкеля второго рода, имеющая своей асимптотикой при расходящуюся сферическую волну (~); – так называемые присоединенные полиномы Лежандра; ; ; – произвольные константы.

На достаточно большом расстоянии от области источников, где наряду с условиями

(10.34)