Основы электродинамики (стр. 13 )

, (7.7)

где , – характерный пространственный масштаб начального возмущения.

Уравнение (7.4) определяет также глубину проникновения переменного электромагнитного поля в «хорошие» проводники (определяемые условием (7.3)). Так, если на плоской границе проводника параллельная границе компонента переменного магнитного поля задана в комплексной форме (см. подробнее раздел 8) как , то при удалении от поверхности вглубь проводника (в направлении перпендикулярной к границе оси ) магнитное поле меняется по закону:

, (7.8)

где величина , называемая толщиной скин-слоя, определяет глубину проникновения переменного электромагнитного поля в проводник. При этом электрическое поле внутри проводника значительно меньше магнитного:

(7.9)

( – внутренняя нормаль к границе).

В аналогичной задаче для проводящего кругового цилиндра радиуса , на границе которого задана продольная (параллельная оси цилиндра) компонента переменного электрического поля

, (7.10)

радиальные распределения электрического и магнитного полей внутри цилиндра в цилиндрической системе координат определяются выражениями

, (7.11)

)

(7.12)

где и – функции Бесселя соответственно нулевого и первого порядков от комплексного аргумента.

Можно считать, что эти выражения моделируют распределения полей (и плотности тока в квазилинейных проводниках. Их асимптотика при для области вблизи границы () имеет вид, локально соответствующий решению (7.8), (7.9) для проводящего полупространства:

. (7.13)

. (7.14)

Отсюда видно, что с ростом частоты, когда толщина скин-слоя становится малой по сравнению с радиусом провода, электрический ток концентрируется вблизи его поверхности. Это явление, называемое скин-эффектом, приводит к повышению сопротивления проводников по сравнению с их сопротивлением для постоянного тока.

Для приведенных решений средний по времени поток энергии внутрь проводника через его поверхность в полном соответствии с законом сохранения энергии равен мощности джоулевых потерь внутри него. В случае плоской границы проводника, перпендикулярной оси z, это равенство выражается соотношением

, (7.15)

а в случае цилиндрического проводника радиуса a :

. (7.16)

Важным свойством рассмотренных решений при сильном скин-эффекте является то обстоятельство, что тангенциальные компоненты электрического магнитного полей удовлетворяют на поверхности проводника:

, (7.17)

где величина

(7.18)

называется поверхностным импедансом проводника. Это условие выполняется на границе «хороших» проводников () любой формы, если их характерные размеры много больше толщины скин-слоя . Средняя за период колебаний плотность потока энергии вглубь проводника на его границе при выполнении условия (7.17) определяется выражением

, (7.19)

8. ЭЛЕТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

8.1. Общие соотношения

Понятия электромагнитная волна, электромагнитный волновой процесс охватывают широкую совокупность явлений, в которых проявляется конечная скорость переноса электромагнитных возмущений в пространстве. Хотя реальные волновые процессы всегда порождаются некоторыми сторонними источниками (переменными токами), их важный класс составляют так называемые свободные волны, представляющие собой решения уравнений Максвелла в отсутствие сторонних источников. В случае однородной непроводящей среды без дисперсии, описываемой материальными уравнениями , с постоянными и , эти уравнения записываются в виде

, , , . (8.1)

Из первых двух уравнений для каждого из полей могут быть получены в этом случае векторные волновые уравнения

, (8.2)

(условия , выступают по отношению к ним как дополнительные).

Простейшим решением уравнений (8.1) или (8.2), отражающим основные закономерности волновых процессов в однородной среде без дисперсии и весьма важным для их понимания и описания в реальных условиях, является плоская электромагнитная волна, т. е. решение вида

(8.3)

где – произвольная функция, – радиус-вектор точки наблюдения, – постоянный единичный вектор, указывающий направление распространения волны и называемый вектором волновой нормали, – скорость распространения волны, – показатель преломления среды, и – взаимно-перпендикулярные постоянные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (этим выражается факт поперечности волны), и связанные между собой импедансным соотношением

. (8.4)

Величина называется волновым сопротивлением (или характеристическим импедансом) среды. Волна, описываемая выражениями (8.3), называется плоской, поскольку ее волновой фронт (поверхность, на которой поля в любой заданный момент времени одинаковы), представляет собой плоскость, перпендикулярную вектору волновой нормали . Вектор Пойнтинга , определяющий величину и направление плотности потока энергии, переносимой плоской волной, сонаправлен с и на основании (8.4) может быть выражен через любую из величин или :

. (8.5)

Выражения для проекций полей плоской волны записываются в простейшей форме, если одна из осей декартовой системы координат (например, ось ) направлена вдоль (или против) волновой нормали, а две другие ( и ) параллельны соответственно векторам и . Общее одномерное (зависящее лишь от одной декартовой координаты ) решение волнового уравнения записывается при этом в виде

, , (8.6)

где и – произвольные функции, описывающие волны, распространяющиеся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси .