Основы электродинамики (стр. 16 )

Различают неоднородные плоские волны двух типов: поперечно-электрические (ТЕ) и поперечно-магнитные (ТМ). В волне первого типа поле перпендикулярно плоскости векторов и , а поле , выражающееся через поле при помощи второго из уравнений (8.11), имеет как поперечную, так и продольную (по отношению к направлению распространения) компоненты. В волне второго типа поля и меняются местами в соответствии с правилом замены, определяемым принципом перестановочной двойственности (см. раздел 1) EH, H E, . Рассмотренные неоднородные плоские волны с комплексным волновым вектором могут реализоваться над плоской границей диэлектрика (в области экспоненциального убывания поля) при возникновении явления полного внутреннего отражения (см. раздел 9). Поперечно-неоднородные волны другого вида, представляющие собой суперпозицию однородных волн, распространяющихся под определенным углом к некоторому заданному направлению, реализуются в волноводах (см. раздел 11).

В реальных равновесных средах всегда имеют место потери (диссипация) электромагнитной энергии. Диэлектрическая и магнитная проницаемости в уравнениях для комплексных амплитуд (8.7) в таких средах комплексны: , причем их мнимые части, как и определяемые ими средние значения объемной плотности мощности электрических и магнитных потерь

, , (8.27)

положительны. Заметим, что использование понятия комплексной диэлектрической проницаемости позволяет при переходе от общих уравнений Максвелла для проводящей среды к уравнениям для комплексных амплитуд (8.7) исключить из них ток проводимости , переписывая правую часть уравнения (1.17) в виде

, (8.28)

т. е. рассматривая проводник как диэлектрик с комплексной проницаемостью

. (8.29)

Величина (первая из формул (8.27)) представляет собой фактически мощность джоулевых потерь в среде с эквивалентной проводимостью : .

В среде с потерями показатель преломления и волновое число (8.9) комплексны: , благодаря чему плоская волна всегда затухает (по экспоненциальному закону) в направлении распространения. Например, выражения для комплексной амплитуды и действительной проекции электрического поля плоской волны, распространяющейся в направлении оси в такой среде, как следует из (8.13), имеют вид

, . (8.30)

Мнимая часть волнового числа (так называемая постоянная затухания) определяет характерную длину затухания волны . В прозрачных средах с малыми потерями (, , ) длина затухания может быть весьма большой и во всяком случае значительно превышает длину волны . В хороших проводниках () действительная и мнимая части волнового числа равны друг другу: , где – так называемая толщина скин-слоя или глубина проникновения поля в проводник. При , среда (плазма в области достаточно низких частот) является непрозрачной () даже в отсутствие потерь энергии (при ).

Бегущая плоская монохроматическая волна представляет собой некоторую элементарную структуру, на базе которой могут строиться (с использованием принципа суперпозиции) весьма разнообразные классы решений уравнений поля в линейной среде. В частности, сумма двух встречных плоских волн с одинаковыми поляризациями, частотами и амплитудами представляет собой стоячую волну, в которой перенос энергии в среднем по времени отсутствует, а пространственное распределение поля характеризуется чередованием неподвижных узлов (нулей) и пучностей (максимумов) амплитуды.

8.3. Волновые пакеты в среде с дисперсией

Поле одномерного волнового пакета (импульса), перемещающегося с некоторой скоростью по оси и локализованного в каждый данный момент времени в ограниченной области пространства, может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических плоских волн с различными частотами, распространяющихся в направлении:

(8.31)

Функция представляют собой Фурье-сопряженную поля в некотором начальном (входном) сечении :

. (8.32)

Если это поле задано в виде , где – несущая частота, а – медленная (в масштабе периода ) комплексная амплитудная огибающая, то спектр такого квазимонохроматического импульса сосредоточен в основном в узкой частотной полосе вблизи несущей частоты. При этом функция в подынтегральном выражении (8.31) может быть представлена несколькими первыми членами степенного ряда

, (8.33)

где штрихи обозначают производные волнового числа по частоте в точке . В приближении, учитывающем только первые два члена этого ряда, т. е. на расстояниях z, удовлетворяющих условию , выражение (8.31) принимает вид:

, (8.34)

где переменная определяет так называемое «местное» или «запаздывающее» время, отсчитываемое от момента прихода в данную точку сигнала, вышедшего в момент из точки и движущегося с групповой скоростью. Как следует из (8.34), зависящая от этого времени медленная огибающая перемещается по оси (не меняя своей формы) с групповой скоростью (см 8. 16), а ее «высокочастотное заполнение» – с фазовой скоростью .

Учет членов второго порядка малости в разложении (8.33) приводит к следующему выражению для поля

, 8.35)

в котором медленная комплексная огибающая

, (8.36)

зависит не только от местного времени, но и непосредственно от координаты , т. е. от пройденного импульсом расстояния. Нетрудно убедиться, что функция удовлетворяет параболическому (диффузионному) уравнению