Основы электродинамики (стр. 24 )

Граничные условия для функций идеальной линии (на граничном контуре ее поперечного сечения) находятся из условия отсутствия тангенциальной компоненты электрического поля на поверхности идеального проводника

. (11.10)

Отсюда на основании выражений (11.2)-(11.4) для волн типов ТЕ и ТМ получаем соответственно

(11.11)

а для волны типа ТЕМ

const. (11.12)

(в первом из условий (11.11) производная берется по направлению нормали к границе).

Из соотношений (11.4), (11.6), (11.12) видно, что поперечные структуры электрического и магнитного полей ТЕМ волны определяется соответственно решениями электростатической и магнитостатической задач для заряженных или токонесущих двумерных проводников. Значения константы в граничном условии (11.12) в этих задачах должны быть различными на различных (не соединяющихся между собой) граничных контурах проводников, число которых в линии должно быть не меньше двух.. Если линия состоит из одного проводника (труба или стержень с произвольной формой поперечного сечения), то ТЕМ (главная) волна в ней существовать не может. Для внутренней области трубы это следует из того, что уравнение (11.6) с граничным условием (11.12) имеет только тривиальное решение const. Для внешней области, вследствие недостаточно быстрого убывания двумерного электростатического поля одиночного проводника на бесконечности, нетривиальное решение отвечает нереализуемой волне, переносящей вдоль линии бесконечный поток энергии.

Так называемые открытые линии передачи (не ограничиваемые снаружи металлической оболочкой) в рамках теории, предполагающей проводники идеальными, а заполняющую среду однородной, могут направлять только ТЕМ волны. Волны типов ТЕ и ТМ в них принадлежат к так называемым волнам сплошного спектра, не удовлетворяющим (так же как и волна ТЕМ снаружи одиночного провода) требуемым условиям пространственной локализации и в силу этого нереализуемым без подкачки энергии извне. Примерами таких линий являются рассматриваемые в конце данного раздела двухпроводная и полосковая линии.

В закрытых или экранированных линиях область существования поля ограничена снаружи замкнутой металлической оболочкой – внешней трубой, за пределы которой поля не проникают. Примерами таких линий являются одиночная металлическая труба (волновод) с любой формой поперечного сечения, в которой, как было сказано выше, невозможно распространение волн типа ТЕМ, а также коаксиальная линия (труба с вложенным внутрь нее металлическим стержнем), в которой могут распространяться волны всех трех типов: ТЕ, ТМ и ТЕМ. Решение уравнения (11.5) с любым из условий (11.11) на контуре, ограничивающем поперечное сечение, определяет, как известно, бесконечный дискретный спектр собственных функций и отвечающих им (чисто действительных) собственных значений . Это означает, что в закрытой линии передачи существуют два бесконечных дискретных набора волн (ТЕ и ТМ типов). Каждая из волн, называемая модой, характеризуется своей поперечной структурой и поперечным волновым числом , зависящим только от геометрии линии и определяющим значение продольного волнового числа при любой частоте согласно дисперсионному уравнению

. (11.13)

Как следует из этого дисперсионного уравнения, каждая мода характеризуется определенным значением критической частоты

(11.14)

или критической длины волны

(11.15)

(речь идет о длине плоской однородной волны в среде в отсутствие проводников). При (или ) данная мода является распространяющейся или бегущей (имеет действительное продольное волновое число). При () мода является нераспространяющейся (продольное волновое число чисто мнимое, поле экспоненциально убывает в или направлении).

Все распространяющиеся моды являются быстрыми - их фазовые скорости больше скорости света, а длины волн больше длины плоской однородной волны в среде (, ); групповые скорости меньше скорости света (), причем для всех волн в случае, если волновод заполнен средой без дисперсии, выполняется соотношение . Основное практическое значение для каждой линии передачи имеет, как правило, так называемая низшая (или основная) мода, имеющая наименьшее поперечное волновое число и, следовательно, наименьшую критическую частоту.

Ниже приведены некоторые результаты решения сформулированной задачи расчета волн типа ТЕ и ТМ в идеальных волноводах простейшего вида. Волны типа ТЕМ в некоторых закрытых и открытых линиях мы рассмотрим несколько позже - после того как ознакомимся с их описанием в терминах тока и напряжения на основе телеграфных уравнений.

Прямоугольный волновод - труба прямоугольного сечения. Направляя оси декартовой системы координат в плоскости поперечного сечения соответственно вдоль сторон прямоугольника и помещая начало координат в одну из его вершин, находим методом разделения переменных системы собственных функций для волн типа ТЕ:

(11.16)

и типа ТМ:

. (11.17)

Здесь и - внутренние размеры поперечного сечения волновода (для определенности далее полагаем ), и – произвольные константы. Обеим системам функций (11.16), (11.17) соответствует один и тот же спектр собственных значений :

. (11.18)

В приведенных выражениях – произвольные целые числа; для волн типа ТМ их счет начинается с единицы, для волн типа ТЕ одно из чисел может быть выбрано равным нулю (равенство нулю одного из чисел для волн ТМ или обеих для волн ТЕ дает тривиальное решение ). Задание пары чисел определяет волноводную моду ТЕ или ТМ. Низшей модой (среди волн обоих типов) при является ТЕ, для которой , , продольное поле .

Круглый волновод - труба кругового сечения (внутренний радиус трубы ). В полярных координатах в плоскости поперечного сечения

), (11.19)

где – функция Бесселя порядка (). Поперечные волновые числа определяются значениями корней функции Бесселя или ее производной при : 0 для волн ТМ; для волн ТЕ (. – номер соответствующего корня). Как и для прямоугольного волновода, различные моды обозначаются ТЕ и ТМ (но с другим смыслом индексов ). Низшей модой является ТЕ, для которой , , продольное поле .