Основы электродинамики (стр. 18 )

Простейшей поперечной структурой обладает осесимметричный гауссов пучок, радиальный профиль которого описывается гауссовой кривой при всех . Комплексное поле такого пучка в рамках рассмотренного малоуглового приближения (основанного на использовании параболического уравнения (8.46)) записывается в виде

. (8.49)

Здесь − расстояние от оси в плоскости , − максимальное значение амплитуды, достигающееся в точке . В области пучок является сходящимся (его фазовые фронты обращены выпуклостью в направлении ), а в области ­ расходящимся (фазовые фронты обращены выпуклостью в направлении ). В плоскости фаза постоянна. Эффективный радиус пучка , определяющий расстояние от оси, на котором амплитуда убывает в раз, зависит от координаты по закону

. (8.50)

Минимальное значение радиуса достигается (вместе с максимальным значением амплитуды) в плоскости . Описанное распределение поля (8.49) может быть реализовано, например, в области пространства за линзой с гауссовой прозрачностью (убывающей по гауссовому закону при удалению от оси), освещаемой по нормали плоской волной. Начало отсчета по оси в решении (8.49) должно быть помещено в этом случае в фокальной плоскости линзы, а сама линза ­ в плоскости , где − ее фокусное расстояние. Использованное при получении (8.49) малоугловое приближение будет при этом выполнено, если эффективный диаметр линзы .

9. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ПЛОСКО-СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН

Слоистыми (слоисто-неоднородными) называются среды, свойства которых зависят от одной декартовой координаты (ниже в качестве этой декартовой координаты будет выбираться ось z). Одной из важных задач, относящихся к распространению электромагнитных волн в таких средах, является задача о распределении электромагнитного поля, возникающем при падении (нормальном или наклонном) монохроматической плоской волны из однородного полупространства на слоисто-неоднородную среду. В силу принципа суперпозиции решение этой задачи естественным образом обобщается на произвольную зависимость от времени (свертка в интеграл Фурье по частотам) и на квазиоптические пучки (свертка в интеграл Фурье по волновым векторам).

Простейшим примером слоисто-неоднородной среды являются два однородных полупространства с различными электродинамическими свойствами, разделенные плоской границей. Пусть из среды 1 (z<0) с диэлектрической и магнитной проницаемостями e1 и m1 по нормали к границе z = 0 падает плоская монохроматическая электромагнитная волна заданной амплитуды:

(9.1)

где – комплексное волновое число в среде 1, а – ее волновое сопротивление. Знак в показателе экспоненты выбирается таким образом, чтобы обеспечить либо экспоненциальное спадание поля в положительном направлении оси z (для среды с поглощением), либо положительность среднего по времени потока энергии в направлении +z (для среды без поглощения). Учитывая, что в данном разделе рассматриваются только монохроматические плоские волны, индекс «» у комплексных амплитуд далее опускаем.

Решение в среде 2 (z > 0) с диэлектрической и магнитной проницаемостями e2 и m2, представляет собой прошедшую волну, уходящую от границы в положительном направлении оси z:

(9.2)

,

Где знак в экспоненте выбирается из тех же соображений, что и для падающей волны в среде 1.

Решение в среде 1 (z < 0) представляет собой суперпозицию падающей волны (9.1) и отраженной волны:

,

(9.3)

.

Коэффициенты и , входящие в выражения (9.2), (9.3), называются соответственно амплитудными коэффициентами отражения и прохождения по полю Е, отнесенными к точке z = 0; в общем случае они являются комплексными величинами, определяющими как амплитуду, так и фазу отраженной и прошедшей волн. Наряду с амплитудными вводятся также энергетические коэффициенты отражения и прохождения:

, (9.4)

удовлетворяющие очевидному соотношению, выражающему закон сохранения энергии

. (9.5)

Для нахождения коэффициентов отражения и прохождения используются два способа: один основан на «сшивке» решений в средах 1 и 2 с использованием граничных условий (непрерывность тангенциальных компонент полей Е и Н), второй способ основан на использовании так называемых импедансных граничных условий и идеально приспособлен для нахождения коэффициента отражения (коэффициент прохождения при этом все равно находится с использованием одного их граничных условий). Импеданс вводится как отношение взаимно перпендикулярных проекций комплексных амплитуд электрического и магнитного полей с линейной поляризацией в условиях, когда они зависят от единственной координаты (в нашем случае z):

. (9.6)

В частности, например, в плоской волне, распространяющейся в однородной среде, импеданс не зависит от координаты и равен волновому сопротивлению среды (со знаком «+» или «-» в зависимости от направления распространения волны). В остальных случаях (слоисто-неоднородная среда, суперпозиция плоских волн, распространяющихся навстречу друг другу) импеданс является функцией координаты. При нахождении коэффициента отражения от плоской границы раздела двух сред импедансное граничное условие на границе раздела заключается в приравнивании импеданса на границе волновому сопротивлению второй среды.

Коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении плоской волны на плоскую границу раздела двух сред определяются соотношениями:

(9.7)

.

Из выражений (9.7) следует, что для прозрачных сред (без диссипации) фаза прошедшей волны совпадает с фазой падающей волны, а фаза отраженной волны совпадает с фазой падающей волны при отражении от среды с большим волновым сопротивлением и отличается от нее на p при отражении от среды с меньшим волновым сопротивлением. Если волновые сопротивления сред 1 и 2 совпадают, то отраженная волна отсутствует, это аналог полного согласования линии передачи с нагрузкой при условии равенства импеданса нагрузки и волнового сопротивления линии передачи (см. далее раздел 11).

В слоисто-неоднородной среде с произвольными зависимостями e(z) и m(z) импеданс удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка типа Риккати:

, (9.8)

где штрихом обозначено дифференцирование по z.

Уравнение (9.8) удобно использовать при нахождении коэффициентов отражения от произвольных неоднородных слоев конечной толщины численными методами, поскольку для уравнения первого порядка достаточно знать импеданс в какой-нибудь одной точке (например, на выходе из слоя он совпадает с волновым сопротивлением однородной среды за слоем). В однородной среде решение уравнения (9.8) определяет формулу пересчета импеданса от точки z = 0 в произвольную точку z:

(9.9)

Формула (9.9) позволяет достаточно просто рассчитывать коэффициенты отражения от небольшого числа однородных плоских слоев, отличающихся своими электродинамическими свойствами.

При рассмотрении задачи о наклонном падении монохроматической плоской волны на плоскую границу раздела двух сред будем предполагать, что в среде 1 поглощение отсутствует. При этом тангенциальная (по отношению к границе) составляющая волнового вектора (без потери общности будем ее обозначать в дальнейшем ) может рассматриваться как заданная действительная величина (из граничных условий следует, что она одинакова для падающей, отраженной и прошедшей волн); нормальная же составляющая может быть как чисто действительной, так и комплексной или чисто мнимой. При определении направлений распространения падающей, отраженной и прошедшей волн в задаче о наклонном падении используются следующие термины: плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела и волновой вектор падающей волны («падающий луч»), называется плоскостью падения; углы, образуемые лучами падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волны с нормалью к границе называются соответственно углами падения (), отражения () и преломления (). Из сохранения тангенциальной составляющей волнового вектора следуют законы Снеллиуса: