Основы электродинамики (стр. 14 )

8.2. Монохроматические плоские волны в изотропной среде

Важным частным классом плоских электромагнитных волн являются так называемые монохроматические (или гармонические) плоские волны, в которых поля изменяются во времени и пространстве по гармоническому закону: , где амплитуды , круговая частота и начальная фаза – постоянные величины. Для описания таких волн, как и любых гармонических во времени процессов, широко используется метод комплексных амплитуд, заключающийся в представлении реальных физических величин в виде действительных частей некоторых комплексных величин, зависимость которых от времени определяется множителем . Например, вектор электрического поля представляется в виде . Комплексный вектор называется комплексной амплитудой поля; модуль и фаза (аргумент) любой его проекции определяют соответственно амплитуду и постоянную (зависящую в общем случае лишь от координат, но не от времени) фазу соответствующей действительной проекции: .

Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд полей, гармонически зависящих от времени, принимают вид:

, , (8.7)

Эти уравнения можно не дополнять уравнениями , следующими из них автоматически. Волновые уравнения для гармонических полей в однородной среде имеют форму векторного уравнения Гельмгольца

, (8.8)

с волновым числом

, (8.9)

( – волновое число в вакууме, и – фигурировавшие выше скорость волны и показатель преломления среды). Решения волновых уравнений (8.8), как и уравнений (8.2), должны удовлетворять дополнительным условиям .

Монохроматические плоские волны могут быть определены как частные решения уравнений (8.7) или (8.8) вида

, , (8.10)

где – постоянные векторы, удовлетворяющие, как следует из уравнений (8.7), соотношениям

, , (8.11)

. (8.12)

Вектор , называемый волновым вектором, указывает направление распространения волны; векторы и определяют амплитуды полей. В случае, например, если волна распространяется по оси , проекция волнового вектора на эту ось совпадает с волновым числом (); если при этом вектор электрического поля параллелен оси (), то выражения для отличных от нуля проекций поля запишутся в виде

, . (8.13)

Заметим, что дифференциальные уравнения для комплексных амплитуд (8.7), (8.8) и соотношения (8.10)-(8.13), описывающие монохроматические плоские волны, в отличие от уравнений (8.1), 8.2) и их решений (8.3), справедливы также и при наличии временной дисперсии в среде, т. е. в условиях, когда параметры и зависят от частоты поля и, вообще говоря, являются комплексными. При известных зависимостях выражение (8.9) для волнового числа определяет дисперсионное соотношение (или дисперсионное уравнение) для плоской волны, т. е. связь между коэффициентами и в выражении для фазы волны . Дисперсионное соотношение может выражаться также любой из функциональных зависимостей .

В среде с чисто действительными и положительными значениями параметров и волновое число чисто действительно. Знание дисперсионного соотношения позволяет в этом случае при данной частоте определить длину волны (пространственный период поля)

, (8.14)

фазовую скорость (с которой перемещается по оси поверхность постоянной фазы)

(8.15)

и групповую скорость

(8.16)

− скорость перемещения квазимонохроматического волнового пакета (см. ниже) или скорость переноса энергии. Соотношение между фазовой и групповой скоростями в реальной среде может быть различным в различных областях частот. Говорят, что среда обладает нормальной дисперсией в тех областях частот, где (), и аномальной дисперсией там, где (). В отсутствие дисперсии () фазовая и групповая скорости совпадают и не зависят от частоты: .

Необходимо иметь в виду, что в среде с дисперсией выражения для плотностей энергии электрического и магнитного поля отличаются от приведенных в разделе 1 для недиспергирующих сред. При чисто действительных и средние по времени значения этих плотностей, как следует из анализа закона сохранения энергии (теоремы Пойнтинга) для квазимонохроматического поля, определяются следующими выражениями

, (8.17)

. (8.18)

Нетрудно показать, что средние значения плотности потока энергии и плотности энергии монохроматической плоской волны в среде с дисперсией удовлетворяют соотношению ( – вектор волновой нормали), означающему, что групповая скорость , определяемая соотношением (8.16), при отсутствии поглощения действительно представляет собой скорость переноса энергии.

В силу поперечности плоской волны различные направления в плоскости ее волнового фронта неэквивалентны. Для описания этой поперечной анизотропии в общем случае вводится дополнительная характеристика, называемая поляризацией волны, задание которой определяет направления векторов поля в различные моменты времени. В частности, рассмотренные выше волны простейшего вида (8.3), (8.13), в которых векторы и изменяются во времени и пространстве, оставаясь параллельными некоторым фиксированным прямым (в рассмотренных примерах , ), обладают линейной поляризацией. В общем случае поляризация гармонических волн является эллиптической (концы векторов поля вращаются по эллипсам). Любая волна с эллиптической поляризацией может быть представлена как суперпозиция двух волн, линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и обладающих (при одинаковых и ) различными амплитудами и фазами.