Основы электродинамики (стр. 19 )

1) лучи падающий, отраженный и преломленный лежат в одной плоскости (плоскости падения).

2) угол падения равен углу отражения: ,

3) угол преломления связан с углом падения соотношением

, (9.10)

где и – соответственно абсолютные показатели преломления сред 1 и 2, величина – относительный показатель преломления среды 2 по отношению к среде 1. Понятие «направление луча», использованное выше при формулировке законов Снеллиуса, на языке плоских волн означает направление соответствующего волнового вектора.

При наклонном падении плоской волны на границу со средой, имеющей меньший показатель преломления (иногда называемой оптически менее плотной средой), возникает явление полного внутреннего отражения, состоящее в том, что при угле падения , большем некоторого критического значения , называемого углом полного внутреннего отражения и определяемого условием

, (9.11)

прошедшая волна в среде «2» как волна с чисто действительным волновым вектором перестает существовать (даже при отсутствии поглощения в среде 2). Проекция ее волнового вектора на ось х остается действительной, но проекция на ось z (при действительном ) оказывается чисто мнимой, так что поле этой волны экспоненциально убывает при удалении от границы и волна не переносит энергию в направлении нормали к границе.

В случае наклонного падения различают две поляризации, которые сохраняются в обеих средах: - ТЕ поляризация, в которой вектор Е перпендикулярен плоскости падения (в рассмотренном выше случае только у компоненту) и ТМ поляризация, в которой вектор Н перпендикулярен плоскости падения. В обоих случаях электромагнитное поле в среде 1 представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн, а в cреде 2 имеется только прошедшая волна. Для ТЕ поляризации обычно вводятся амплитудные коэффициентов отражения () и прохождения () по полю Е:

при z < 0 (среда 1): , (9.12)

при z > 0 (среда 2): . (9.13)

В приведенных выражениях тангенциальная компонента волнового вектора фиксирована и определяется углом падения в среде 1, нормальные компоненты в каждой из сред определяются их показателями преломления:

(9.14)

Если угол падения больше угла полного внутреннего отражения, величина становится мнимой, и знак перед ней выбирается из условия экспоненциального убывания поля при .

Коэффициенты отражения и прохождения, как и в случае нормального падения, находятся из условий непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границе раздела. Соответствующие формулы в случае наклонного падения легко могут быть получены как обобщение формул (9.7) с использованием понятия поперечного импеданса , обобщающего данное выше определение (9.6) на случай плоских волн, не являющихся чисто поперечными по отношению к заданному выделенному направлению (в рассматриваемой задаче - нормаль к границе раздела сред). Величина и в этом случае определяется как коэффициент, связывающий поперечные (перпендикулярные друг к другу и к оси ) компоненты ее электрического и магнитного полей:

(9.15)

Обобщением понятия волнового сопротивления при этом является характеристический поперечный импеданс монохроматической плоской волны с заданным (в общем случае комплексным) волновым вектором ). Выражения для него легко получаются из общих соотношений (8.11), (8.12); для волн типа ТЕ или ТМ имеем соответственно:

, . (9.16)

Здесь , , , . При действительных и величина чисто действительна и представляет собой угол, образуемый волновым вектором с осью .

Ввиду непрерывности поперечного импеданса на границе, коэффициенты отражения и прохождения (по полю Е) при наклонном падении ТЕ волны определяются теми же выражениями (9.7) с заменой на :

, , (9.17)

где значения в областях 1 и 2 определяются выражениями (9.16) при соответствующих каждой из этих областей значениях параметра и угла .

В качестве характеристик отражения волн типа ТМ вместо величин RE и TE как правило используются величины RH и TH, определяемые как аналогичные отношения амплитуд магнитных, а не электрических полей. Выражения для них можно получить непосредственно из (9.17) на основании принципа перестановочной двойственности (см. раздел 10), произведя замены . В результате находим:

, (9.18)

Подстановка (9.16) в (9.17) и (9.18) позволяет получить для коэффициентов отражения так называемые формулы Френеля (в общем случае достаточно громоздкие). Ниже мы приводим эти формулы лишь для важного частного случая непоглощающих немагнитных сред () при значениях углах падения , меньших угла полного внутреннего отражения:

, (9.17а)

, (9.18а)

где углы связаны законом Снелля (9.10).

При наклонном падении ТМ волны существует так называемое явление Брюстера, состоящее в том, что при определенном угле падения (называемом углом Брюстера) ее коэффициент отражения обращается в нуль. Легко убедиться, что при падении под углом Брюстера лучи отраженный и преломленный образуют угол p/2, а сам угол Брюстера (при m1 = m2) определяется соотношением:

(9.19)

Приведем здесь для справки общие выражения для коэффициентов отражения и прохождения, справедливое при и при наличии поглощения в среде 2:

,

, (9.17б)

,

, (9.18б)

где величины являются комплексными, а выбор знаков перед корнями из тех же соображений, что и выше.

В плавно неоднородной диэлектрической среде с комплексные амплитуды электрического и магнитного полей описываются уравнениями

, (9.20)

, (9.21)

которые могут быть получены непосредственно из уравнений Максвелла при отсутствии сторонних источников и должны решаться при условиях , . В случае нормального падения плоской волны на плоскослоистую среду () удобно воспользоваться первым из этих уравнений, согласно которому любая из поперечных по отношению к градиенту неоднородности компонент поля удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка в обыкновенных производных: