Основы электродинамики (стр. 25 )

11.2. Поглощение волн в линиях передачи

В реальных линиях передачи затухание волн в направлении их распространения (т. е. комплексность продольных волновых чисел) обусловлено потерями энергии в среде, заполняющей линию, и в стенках линии вследствие их неидеальной проводимости. Поглощение энергии в заполняющей (однородной) среде легко учитывается на основании дисперсионного уравнения (11.13), позволяющего найти действительную и мнимую части продольного волнового числа для среды с комплексными параметрами и . В поглощающих средах мнимые части и (при выбранном нами знаке показателя в комплексном временном множителе ) всегда отрицательны, что, как легко показать, приводит к затуханию волны в направлении ее распространения (, при ).

Потери энергии в металлических стенках линии передачи могут быть учтены на основании граничного условия Леонтовича, связывающего между собой тангенциальные компоненты полей на границе хорошего проводника в условиях сильного скин-эффекта:

; (11.20)

( – нормаль к границе, направленная внутрь проводника, – поверхностный импеданс, определяемый комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями проводника , ). В проводниках, используемых обычно в линиях передачи радио - и СВЧ диапазонов ; при этом . Условие (11.20) позволяет записать погонную мощность потерь в проводниках (средний поток энергии в стенки на единицу длины линии) в виде

(11.21)

(интеграл вычисляется по граничному контуру поперечного сечения линии).

Как следует из закона сохранения энергии, мощность потерь и скорость изменения потока энергии волны по оси в случае, если волна распространяется в направлении, связаны соотношением , откуда, при учете квадратичной зависимости величины от амплитуд полей и экспоненциальной зависимости этих амплитуд от продольной координаты (, , ), получаем выражение, позволяющее рассчитать коэффициент затухания волны по известным значениям мощностей и :

. (1.22)

(интеграл в знаменателе берется по всей площади поперечного сечения линии). В случае слабого затухания () в качестве поля в эту формулу можно подставлять поле , рассчитанное для идеальной линии (при ).

11.3. Телеграфные уравнения для ТЕМ волн

Главные волны в линиях передачи, образованной двумя параллельными проводниками, могут быть описаны на основании простой эквивалентной квазистационарной схемы с использованием понятий тока , текущего в одном из проводов (при этом в другом проводе течет ток ) и напряжения между проводами

, (11.23)

определяемого как интеграл по произвольному линейному контуру, соединяющему провода 1 и 2 в плоскости поперечного сечения линии. Функции удовлетворяют так называемым телеграфным уравнениям, которые для идеальной линии, погруженной в непроводящую среду без дисперсии, записываются в виде

, (11.24)

. (11.25)

Здесь и – погонные параметры линии (емкость и индуктивность единицы длины) Эти уравнения фактически представляют собой одномерный аналог уравнений Максвелла для поперечных полей и могут быть получены путем применения известных законов Кирхгофа для квазистационарных цепей к элементарному отрезку линии. Каждая из величин (представляющих собой соответственно аналоги напряженностей магнитного и электрического полей), как следует из приведенных уравнений, удовлетворяет волновому уравнению

, (11.26)

в котором роль скорости волны играет величина . Отношение напряжения к току в бегущей волне, называемое волновым сопротивлением линии (аналог характеристического импеданса (11.8)), также выражается через параметры и :

. (11.27)

(знаки + и – относятся соответственно к волнам, бегущим в направлении и ). Эти погонные параметры зависят от геометрии поперечного сечения линии, однако их произведение, как следует из выражения, определяющего скорость главной волны , зависит только от свойств заполняющей среды: .

Рассмотрим поперечную структуру полей ТЕМ волны и рассчитаем характеризующие ее параметры для некоторых наиболее часто используемых двухпроводных линий.

Коаксиальная линия (коаксиальный кабель) – круглая труба, в которую вставлен имеющий с ней общую ось круглый стержень. Проводящие поверхности трубы и стержня ограничивают двусвязную цилиндрическую область с внутренним и внешним радиусами и . Поскольку эта линия является закрытой, в ней могут существовать волны всех рассмотренных типов, однако на практике она используется только для передачи ТЕМ волны с , . Электрическое и магнитное поля этой волны, имеющие чисто статическую поперечную структуру, описываются в полярных координатах (естественным образом вводимых в поперечном сечении линии) выражениями

(; const). (11.28)

Электрическое поле в любой плоскости const совпадает с полем цилиндрического конденсатора, а магнитное – с полем прямого осевого тока. Определяя напряжение и ток в линии

, , (11.29)

а также приходящиеся на единицу ее длины заряд центрального проводника и азимутальный (охватывающий центральный проводник) магнитный поток

, , (11.30)