Основы электродинамики (стр. 21 )

10. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

ЗАДАННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Электромагнитное поле произвольной системы источников может быть описано в общем случае при помощи векторного и скалярного потенциалов и :

, . (10.1)

При таком представлении полей два уравнения Максвелла, не содержащие источников, удовлетворяются автоматически; другие два уравнения при наложении на потенциалы условия калибровки Лоренца

(10.2)

позволяют получить для потенциалов в однородной среде без дисперсии неоднородные волновые уравнения, содержащие в правых частях источники поля:

, (10.3)

. (10.4)

Решениями этих уравнений, удовлетворяющими на бесконечности (в случае локализации источников в ограниченной области с объемом ) условию излучения, т. е. представляющими собой расходящиеся сферические волны, являются так называемые запаздывающие потенциалы:

, (10.5)

. (10.6)

Здесь – расстояние от точки наблюдения до точки интегрирования ; – запаздывающее время; – скорость электромагнитной волны в среде. Выражения (10.1), (10.5), (10.6) позволяют рассчитать потенциалы и поля произвольной ограниченной системы источников в однородной среде без дисперсии.

В случае гармонической (синусоидальной) зависимости полей и источников от времени представление всех переменных величин в комплексной форме (в виде действительной части произведения комплексной амплитуды на временной фактор , где – круговая частота поля) позволяет переписать уравнения (10.1-10.6) в виде уравнений для соответствующих комплексных амплитуд:

, , (10.7)

, (10.8)

. (10.9)

Здесь и – соответственно волновые числа в вакууме и в среде; скалярный потенциал исключен из описания поля с помощью соотношения ,вытекающего из условия калибровки Лоренца. Выражения (10.7)-(10.9) справедливы и при наличии временной дисперсии ().

Расчет полей вихревых (соленоидальных) токов, удовлетворяющих условию divj = 0, в некоторых случаях упрощается, если заменить их эквивалентными магнитными токами, имеющими вообще говоря более простую (не обязательно вихревую) конфигурацию. Процедура такой замены (обобщающей замену замкнутых линейных токов эквивалентными двойными слоями магнитных зарядов в магнитостатике, см. раздел 6) состоит в следующем. Представим плотность электрического тока в виде суммы , где второе слагаемое представляет собой ту часть полного тока, которую мы хотим заменить эквивалентным магнитным током. Определим плотность магнитного тока как решение уравнения

rot, (10.10)

отличное от нуля только внутри некоторой ограниченной области, содержащей всю область с , и введем в систему уравнений Максвелла для гармонических полей

rot, (10/11)

rot (10.12)

«новый» вектор напряженности магнитного поля , отличающийся от вектора лишь в области источников. Уравнения для полей оказываются симметричными относительно источников:

rot, (10.13)

rot . (10.14)

Такая симметрия позволяет сформулировать для решений уравнений Макселла, содержащих электрические () и магнитные () токи, так называемый принцип перестановочной двойственности: если найдено одно из решений этих уравнений, то еще одно решение может быть построено путем замен:

(10.15)

Следуя общепринятой форме записи уравнений (10.13), (10.14) и правил замены (10.15), применяемых в основном для расчета полей вне области источников, где , штрихи над вектором напряженности магнитного поля далее опускаем).

Решение системы уравнений (10.13, 10.14) может быть представлено в виде суперпозиции полей, порождаемых электрическими и магнитными токами по отдельности:

, (10.16)

Первые слагаемые в этих выражениях определяются на основании потенциального описания (10.7)-(10.9), отвечающего электрическим токам (используемые в этом описании векторный и скалярный потенциалы естественно называть электрическими, обозначая их ). Вторые слагаемые, ввиду симметрии уравнений (10.13), (10.14), находятся на основании аналогичного потенциального описания, получаемого из (10.7)-(10.9) при помощи принципа перестановочной двойственности (10.15):

, , (10.17)

, (10.18 )

. (10.19)

Здесь – векторный магнитный потенциал; скалярный магнитный потенциал исключен из выражений для полей на основании условия калибровки Лоренца

Далее мы ограничимся описанием некоторых методов и результатов расчета векторного потенциала и полей в вакууме, полагая (обобщение приведенных ниже соотношений на случай однородного диэлектрика или магнетика не составляет большого труда).

Поля источников, характерные размеры которых малы по сравнению с длиной волны и с расстоянием до них , обычно представляются первыми членами разложения векторного потенциала (10.9) по степеням малых параметров и (начало координат здесь и всюду далее предполагается расположенным внутри области источников). Первое слагаемое в этом разложении

(10.20)

определяет поле элементарного электрического диполя (вибратора Герца) с вектором дипольного момента

. (10.21)

На расстояниях от диполя, малых по сравнению с длиной волны, т. е. в так называемой зоне квазистатики (), электрическое поле в каждый момент времени близко к полю статического диполя (2.18).

В области (так называемая волновая зона) вектор-потенциал (10.20) описывает почти строго поперечную расходящуюся сферическую волну. Векторы напряженности электрического и магнитного полей этой волны связаны между собой в каждой точке волнового фронта как в плоской волне, распространяющейся в радиальном направлении, а их амплитуды убывают как при увеличении расстояния до диполя. В сферической системе координат с полярной осью , параллельной вектору дипольного момента (в предположении его линейной поляризации), отличные от нуля поперечные компоненты поля записываются в виде: