Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 10 )

Положим х4 = с, тогда решение системы примет вид

Величину с определим по заданной сумме бюджетов:

х1 + х2 + х3 + х4 = 8820.

Получаем

Таким образом, найдены величины х1, х2, х3, х4 бюджетов четырех стран при бездефицитной торговле:

Ответ: х1=2800; х2=2020; х3=2740; х4=1260.

6.3. Упражнения для самостоятельного решения

Решить системы методом Гаусса, обязательно используя контрольный столбец.

50.

51.

52.

53.

54.

Решить системы методом Жордана - Гаусса.

55.

56.

57.

58.

59.

60. С двух заводов поставляются тракторы для двух автохозяйств, потребности которых 200 и 300 тракторов соответственно. Первый завод выпустил 350 тракторов, второй - 150. Известны затраты на перевозку тракторов с завода в каждое автохозяйство (табл. 9).

Таблица 9

Завод	Затраты на перевозку тракторов в автохозяйство, ден. ед.
1	2
1	15	20
2	8	25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Ах + Вy + С = 0, y = xp

7.1. Справочный материал

Уравнение Ax + By + С = 0 на плоскости определяет прямую линию, которая строится по двум точкам. Если В ¹ 0, то уравнение приводится к виду y = kx + b, где k = tg a - угловой коэффициент прямой, a - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох, в - отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

При В = 0 получаем Ах + С = 0 Þ - уравнение прямой, параллельной оси Оy. Если А = 0, то Ву + С = 0 Þ - уравнение прямой, параллельной оси Ох . При С = 0 прямая, определяемая уравнением Ах + Ву = 0, проходит через начало координат. х = 0 - уравнение оси Оу ; у = 0 - уравнение оси Ох .

График степенной функции у = хр для различных значений р и в первой четверти изображен на рис. 1 - 3.

При конкретных значениях показателя р функцию у = хр следует проверить на четность и нечетность и, возможно, продолжить график во II или III четверть. Функцию у = f (x) называют четной (нечетной) на множестве Х, если для"хÎ Х: (-х)Î Х и f (x) = f (x) (f (-x) = -f (x)).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, нечетной функции - относительно начала координат.

7.2. Примеры решения задач

61. Построить графики функций (степенных - схематично):

а) 2х - 5 = 0; у + 3 = 0; 3х + у = 0; 3х - у + 6 = 0;

б) у = х2; ; у = ;

в) у = ; у = ; у = ;

г) ; ; у = .

Решение

а) 2х - 5 = 0 Þ 2х = 5 Þ х = 2,5 - уравнение прямой, параллельной оси Оу (рис. 4), у + 3 = 0 Þ у = -3 - уравнение прямой, параллельной оси Ох (рис. 4).

Прямую, заданную уравнением 3х + у = 0, у = -3х, построим (рис. 4) по двум точкам:

х	0	-1
у	0	-3

Для построения прямой 3х - у + 6 = 0 удобно найти точки ее пересечения с осями координат. При х = 0 получаем -у + 6 = 0 Þ у = 6. Если у = 0, то

3х + 6 = 0, 3х = -6, х = -2.

Рис. 4

б) у = х2 (р = 2 > 1), у = (р = < 1), (р = -3 < 0) .

у = х2 - четная функция, ее график симметричен относительно оси Оу,

х Î (- ¥ ; + ¥).

- функция общего вида, она определена при х ³ 0, то есть - нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат,

х¹ 0.

Графики всех трех (степенных) функций (см. рис. 5, 6, 7) проходят через точку (1; 1).

Рис. 5

в)

- нечетная функция; х Î (- ¥ ; + ¥).

- четная функция; х Î (- ¥ ; + ¥).

- функция общего вида; х Î (0 ; + ¥).

Рис. 6

г)

- функция общего вида; х Î [0 ; + ¥).

- нечетная функция; х Î (- ¥ ; + ¥).

- четная функция; х Î (- ¥ ; 0)È (0; + ¥).

Рис.7

7.3.  Упражения для самостоятельного решения

62. Построить графики функций:

а) 2х - 4у + 1 = 0; 2х - у = 0; 2х + 9 = 0; 4у - 3 = 0.

б) ; ; ;

в) ; ; ;

г) ; ; ;

д) ; ; ;

е) ; ; .

8. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

8.1. Справочный материал

Рассмотрим линейное неравенство

ах1 + вх2 + с ³ 0 (33)

и решим его геометрически. Областью решений неравенства (33) будет совокупность тех точек (х1, х2) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (33). При этом во всех случаях областью решений (33) является полуплоскость. Для нахождения этой полуплоскости поступим следующим образом:

1)  построим прямую ах1 + вх2 + с = 0. Эта прямая разделит всю плоскость на две полуплоскости, для одной из которых ах1 + вх2 + с > 0, а для точек другой выполняется неравенство ах1 + вх2 + с < 0.