Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 11 )

2)  неравенство (33) при условии в ¹ 0 приведем либо к виду х2 ³ а1х1+ с1, либо к виду х2 £ а1х1 + с2 (в зависимости от знака в).

В первом случае искомая полуплоскость располагается выше (над) прямой

х2 = ах1 + с1, во втором - ниже (под) указанной прямой. Если же в = 0, то неравенство (33) преобразуется в условие ах1 + с ³ 0 и в зависимости от знака а принимает вид х1 ³ р или х1 £ р.

В первом случае нужная полуплоскость находится справа от прямой х1 = р, во втором случае - слева от нее.

Во всех случаях к точкам выбранной полуплоскости присоединяются точки прямой (граница полуплоскости), поскольку неравенство (33) нестрогое. Этого делать не следует, если (33) будет строгим неравенством:

ах1 + вх2 + с > 0.

Заметим, что можно поступать и иначе: в случае а ¹ 0 из (33) выразим х1 и приведем неравенство к одному из двух видов: х1 ³ а2х2 + с2 при а > 0 и х1 £ а2х2 + с2 при а < 0. В первом случае искомая полуплоскость находится справа от построенной прямой, во втором случае - слева.

Разумеется, все рассуждения остаются в силе, если в (33) используются знаки " < ", " £ ".

При решении системы линейных неравенств

(34)

находят полуплоскость решений для каждого из неравенств. Тогда областью D решений системы (34) является общая часть (пересечение) найденных полуплоскостей. Эта область D может оказаться многоугольником (ограниченной областью), неограниченным или пустым (не содержащим ни точки) множеством.

8.2. Примеры решения задач

63. Найти полуплоскость, определяемую неравенством 2х1 - х2 ³ 0.

Решение. 1) Уравнение 2х1 - х2 = 0 на плоскости определяет прямую, проходящую через начало координат О (0; 0). Для нахождения еще одной точки на этой прямой положим х1 = 1. Тогда 2 × 1 - х2 = 0 Þ х2 = 2. Через точки (0; 0) и (1; 2) проводим прямую (рис. 8).

Рис. 8

2) Из заданного неравенства выразим х2: - х2 ³ -2х1 , х2 £ 2х1 . Последнее условие означает, что искомая полуплоскость расположена ниже построенной прямой. Область решений заданного неравенства включает точки указанной полуплоскости и точки прямой 2х1 - х2 = 0.

64. Построить область, заданную неравенствами. Найти координаты вершин этой области.

х1 + х2 £ 3, х1 + 5х2 £ 5, x1 ³ 0, x2 ³ 0.

Решение. Построим прямые х1 + х2 = 3, х1 + 5х2 = 5. Из уравнения х1 + х2 = 3 при х1 = 0 находим х2 = 3, при х2 = 0 получаем х1 = 3. Таким образом, прямая, определяемая уравнением х­1 + х2 = 3, проходит через точки (0; 3) и (3; 0).

Для второго уравнения х1 + 5х2 = 5 составим таблицу значений:

х1	0	5
х2	1	0

Рис.9

С одной стороны, прямая х1 + х2 = 3 "вобрала" в себя точки плоскости, для которых сумма координат равна 3. С другой стороны, эта прямая разделила всю плоскость на две части (полуплоскости), для одной из которых х1 + х2 < 3, а для другой х1 + х2 > 3.

Согласно условию следует выбрать полуплоскость, для которой х1 + х2 < 3. Этот выбор можно осуществить двумя способами:

1) в одной (любой) из полуплоскостей взять произвольную (испытываемую) точку и подставить ее координаты в левую (возможно, и в правую) часть неравенства. Например, возьмем точку О (0;0), подставим ее координаты в левую часть неравенства х1 + х2 £ 3 и получим истинное неравенство 0 < 3. Значит, искомой полуплоскости точка О (0;0) принадлежит. На рис. 9 указывают стрелкой (можно штриховой) нужную полуплоскость (ниже, под прямой, левее прямой х1 + х2 = 3).

2) из решаемого неравенства х1 + х2 = 3 выразим х2 £ 3-х. На прямой х1 + х2 = 3 переменная х2 = 3 - х1. Уменьшается х2 вниз, поэтому область, описываемая неравенством х1 + х2 < 3, располагается под прямой х1 + х2 = 3. Можно из неравенства х1 + х2 £ 3 выразить х1 £ 3-х2 и на рис. 9 указать область, расположенную слева от прямой х1 = 3 - х2 (переменная х1 уменьшается влево, увеличивается - вправо).

Аналогично из неравенства х1 + 5х2 = 5 выразим х1 £ 5 - 5х2 и укажем на рис. 9 область слева от прямой х1 + 5х2 = 5.

Неравенства х1 ³ 0, х2 ³ 0 в совокупности определяют множество точек, расположенных в первой четверти, включая точки на осях координат Ох1 и Ох2.

Таким образом, область решения системы заданных четырех неравенств состоит из точек на границе четырехугольника ОАВС (рис. 9) и внутри нее.

Найдем координаты вершин ОАВС: О (0;0), А (0;1), С (3;0). Координаты точки В определим, решая систему уравнений

Вычитая из первого уравнения второе, получим 4х2 = 2 Þ х2 = 0,5. На основании второго уравнения системы имеем х­1 + 0, 5 = 3, х1 = 2, 5.

Ответ: О (0; 0), А (0;1), В (2, 5; 0, 5), С (3; 0).

65.

Решение.

На каждой из прямых 2х1 + х2 = 4 и х1 + 3х2 = 6 найдем по две точки и построим прямые (рис. 10).

1) 2х1 + х2 = 4: 2) х1 + 3х2 = 6:

X1	0	2		X1	0	6
X2	4	0	X2	2	0

Рис. 10

На основании условия 2х1 + х2 £ 4 находим, что х2 £ 4 - 2х1, то есть искомая область расположена ниже (под) прямой х2 = 4 - 2х1.

Из неравенства х1 + 3х2 ³ 6 выражаем х1 ³ 6 - 3х2 и заключаем, что область решений этого неравенства находится правее прямой х1 = 6 - 3х2. Учитывая также условия х1 ³ 0, х2 ³ 0, заштрихуем на рис. 10 заданную область (треугольник АВС); А (0; 2); С (0; 4). Для нахождения координат точки В решим систему

Применим формулы Крамера:

Тогда

Таким образом, х1 = 1, 2; х2 = 1, 6; В (1, 2; 1, 6).

Ответ: А (0; 2), В (1, 2; 1, 6), С (0; 4).

66. 2х1 - 3х2 £ 6, х2 £ 2, х1 ³ 0. х2 ³ 0.

Из уравнения 2х1 - 3х2 = 6 при х1 = 0 находим х2 = -2 и при х2 = 0 определяем х1 = 3. Из неравенства 2х1 - 3х2 £ 6 выразим и на рис. 11 отметим полуплоскость слева от построенной прямой. Уравнение х2 = 2 определяет прямую, параллельную оси Ох1. Неравенство х2 £ 2 описывает полуплоскость, расположенную ниже прямой х­2 = 2. Область решений заданной системы неравенства заштрихована (рис. 11).

Найдем координаты точки В, решив систему уравнений:

Рис. 11

Ответ: О (0;0), А (3;0), В (6;2), С (0; 2) .

67. 4х1 - х2 ³ 0, х1 £ 2, х1 ³ 0, х2 ³ 0.

Решение.

На прямой 4х1 - х2 = 0 находим две точки:

х1	0	1
х2	0	4

и строим прямую (рис. 12). Согласно условию -х2 ³ - 4х1 Þ х2 £ 4х1, поэтому искомая полуплоскость располагается ниже прямой х2 = 4х1, х1=2 - уравнение прямой, параллельной оси Ох2.

Условие х1 £ 2 означает, что следует выбрать полуплоскость левее прямой х1 = 2. Искомая область заштрихована (рис. 12). О (0;0), А (2;0). При х1 = 2 из уравнения 4х1 - х2 = 0 Находим х2: 8 - х2 = 0 Þ х2 = 8, В (2; 8). Ответ: О (0;0), А (2;0), В (2;8)

Рис. 12

8.3. Упражнения для самостоятельного решения

Построить область, заданную системой неравенств. Найти координаты вершин этой области.