Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 9 )

1)  в первой строке и первом столбце выбрали ведущий элемент и в соответствии с этим преобразовали таблицу;

2)  четвертую строку сократили на 2 и, выбрав в ней ведущий элемент, осуществили необходимые действия;

3)  к третьей строке прибавили вторую;

4)  третью строку умножили на .

Четвертой строке последней таблицы соответствует уравнение или 0=1. Последнее равенство неверно, поэтому заданная система несовместна.

Ответ: система несовместна.

48. На предприятие для работников четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 руб. - 2000 купюр; по 50 руб. - 130 купюр; по 10 руб. - 700 купюр; по 1 руб. - 1620 купюр. Заработная плата работника 1-й категории составляет 967 руб., 2-й категории -725 руб., 3-й категории - 443 руб., 4-й категории - 254 руб.

Сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии, если каждому работнику выдали заработную плату минимальным числом купюр?

Решение. Согласно условию задачи каждому сотруднику выдали заработную плату минимальным числом купюр. Это условие позволяет однозначно определить количество купюр различного достоинства, выданных сотрудникам разных категорий. Составим таблицу распределения купюр (табл. 8).

Таблица 8

Достоинство купюры, руб.	Распределение купюр по категориям	Общее количество купюр
1	2	3	4
100	9	7	4	2	2000
50	1	-	-	1	130
10	1	2	4	-	760
1	7	5	3	4	1620

Пусть x1 - количество работников i-й категории, i = 1; 2; 3; 4. Используя данные табл. 8, составим уравнения "баланса":

Решим эту систему методом Гаусса:

~~

~~~

~~~[V1] 

~~~

~~.

Получаем систему уравнений

Таким образом, x4 =50; x3=170-x4 =170-50=120;

x2 =-550+5x3+x4= -550+600+50=100,

x1=130-x4=130-50=80.

На предприятии работают 80 сотрудников первой категории, 100 - второй, 120 - третьей и 50 – четвертой.

49. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

А=.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

x1 +x2 + x3 +x4 = 8820.

Решение. Введем матрицу X=, где xi­ - бюджет i-й страны, расходуемый на покупку товаров. Элементы матрицы А - это та доля бюджета , которую j-я страна использует для закупки товара у i-й страны. Будем рассматривать линейную модель обмена или модель международной торговли. Для такой модели выполняется равенство

(30)

при условии, что весь бюджет страны используется только на закупки внутри и вне страны (торговый бюджет). Матрицу А, элементы которой обладают свойством (30), называют структурной матрицей торговли. Для такой матрицы сумма элементов любого из ее столбцов равна единице.

Условия сбалансированной (бездефицитной) торговли для i-й страны при выполнении (30) имеют вид

(31)

В матричной форме система (31) запишется так:

AX=XÞ AX=EX Þ (A-E)×X=0. (32)

Найдем матрицу A-E:

A-E=.

Тогда на основании (32) получаем

Решим эту систему методом Жордана - Гаусса:

x1	X2	x3	X4	Свободные члены	Контрольный столбец
-0,6	0,3	0,3	0,2	0	0,2
0,2	-0,6	0,1	0,3	0	0
0,3	0,2	-0,5	0,1	0	0,1
0,1	0,1	0,1	-0,6	0	-0,3
-6	3	3	2	0	2
3	-6	1	3	0	0
2	2	-5	1	0	1
1	1	1	-6	0	-3
0	9	9	-34	0	-16
0	-8	-1	15	0	6
0	-1	-8	19	0	10
1	1	1	-6	0	-3
0	9	9	34	0	-16
0	-8	-1	15	0	6
0	1	8	-19	0	-10
1	1	1	-6	0	-3
0	0	-63	137	0	74
0	0	63	-137	0	-74
0	1	8	-19	0	-10
1	0	-7	13	0	7
0	0	63	-137	0	-74
0	0	63	-137	0	-74
0	1	8	-19	0	-10
1	0	-7	13	0	7
0	0	63	-137	0	-74
0	1	8	-19	0	-10
1	0	-7	13	0	7
0	0	1		0
0	1	8	-19	0	-10
1	0	-7	13	0	7
0	0	1		0	-16
0	1	0		0
1	0	0		0

Получаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными