Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 4 )

D===1×.

Из первой строки последнего определителя вынесем общий множитель

(x2-x1), из третьей строки вынесем общий множитель (x3-x1):

D=(x2-x1)× (x-x)×=

= .

17.Решить уравнения:

а) , б) ,

в) , г) , д) =0.

Решение:

а) Раскроем определитель второго порядка в левой части уравнения:

, ;

, -11x=2,

б)

в) ,

,

г)

д) Умножив элементы первого столбца на (-3), прибавим их к соответствующим элементам второго столбца и получим

.

Вынесем из второго столбца (-7) и затем сократим на (-7) обе части уравнения:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Ответ: а) б) ±2; в) x1= -, x2= г) 3; д) -3.

18. Решить неравенства:

а) >0; б)

Решение:

а) > 0, x-3> 0, x> 3, xÎ(3; + ¥);

б)

-1х, или x Î.

Ответ: а) хÎ(3;+), б) хÎ[-1;7].

2.3. Упражнения для самостоятельного решения

19. Вычислить определители:

20. Вычислить определитель матрицы А:

А=.

21. Решить уравнения:

а) б) в) .

22. Решить неравенства:

а) б) > 0.

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

3.1. Справочный материал

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

Введем главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

. (3)

Если D¹0, то система (2) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

(4)

где определитель получен из D (3) заменой в нем столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

3.2. Примеры решения задач

23. Решить системы, применив формулы Крамера:

а) б)

Решение:

а) Определитель системы

D=

Вычислим определители:

.

Тогда

б) Вычислим определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

D= .

Умножим элементы третьего столбца на (-2) и прибавим к элементам первого, а затем умножим на 3 и прибавим к элементам второго столбца.

D= .

Разложим этот определитель по элементам первой строки и получим

D= .

Вычислим определитель , заменив в определителе D первый столбец (коэффициентов при ) столбцом свободных членов.

Аналогично находим:

Для вычисления к первой строке прибавим вторую, умноженную на

(-2), и к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-4).

На основании формул Крамера (4) находим решение системы:

Ответ: а) x1 =1, x2 = -1; б) x1 = 5, x2 = 6, x3 = 10.

24. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 3. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Таблица 3

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес. ед. изд.	Запас сырья, вес. ед.
1	2	3
1	3	1	5	1200
2	4	2	1	1200
3	6	4	1	2000

Решение. Пусть xi - объем выпуска продукции i-го вида, i =1, 2, 3. При условии полного расхода запасов каждого вида сырья составим балансовые соотношения:

Вычислим определитель этой системы:

D¹0, поэтому систему можно решить, применив формулы Крамера.

Тогда

Ответ: При заданных запасах сырья объемы выпуска продукции по каждому виду составят соответственно 150, 250 и 100 условных единиц.

3.3. Упражнения для самостоятельного решения

Решить системы линейных уравнений:

25. 26. 27.

28. 29.

30. Фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов, используя при этом сырье трех видов S1 , S2 , S3. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и объем расхода сырья на 1 день задаются табл. 4.

Таблица 4

Вид сырья	Нормы расхода сырья на. . . изделие, усл. ед.	Расход сырья на один день, усл. ед.
I изделие	II изделие	III изделие
S1	2	1	2	1100
S2	1	1	1	700
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия.