Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 3 )

Таблица 2

Вид изделия	Количество изделий	Расход сырья, кг/изд.	Норма изготовления ч/изд.	Цена изделия, ден. ед. изд.
1	30	10	15	40
2	60	7	10	20
3	40	12	20	50
4	50	9	12	30

Определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции предприятия.

13. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы A. Найти затраты на сырье каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия соответственно 50; 65; 30; 45.

A=.

14. Затраты на четыре вида сырья для выпуска четырех видов продукции характеризуются матрицей A, приведенной в задаче 13.

Найти:

1) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку;

2) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектор-плана задачи 13, если известны себестоимости каждого вида сырья 8, 5, 6, 4 и его доставки 2, 3, 1, 2 ден. ед. соответственно.

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

2.1. Справочный материал

Каждой квадратной матрице A ставится в соответствие число |А|, называемое определителем. Понятие определителя связано с решением систем линейных уравнений.

Определитель матрицы второго порядка обозначается и вычисляется так:

Δ2=.

2.1.1.  Определение определителя

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Для квадратной матрицы

A=

определитель третьего порядка определим так:

Δ3=|А|= - +. (1)

Равенство (1) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки. Для более компактной записи такого разложения вводят понятие алгебраического дополнения элемента определителя.

Минор элемента - это определитель, получаемый вычеркиванием

i-й строки и j-го столбца определителя Δ.

Например, M11 =, M23=.

Алгебраическое дополнение Aij элемента определяется равенством

Aij=.

Например, A11= , A23 = - .

Знаки алгебраических дополнений символически изобразим так: .

На основании понятия алгебраического дополнения выражение (1) запишем в следующем виде:

Δ = =.

Нетрудно убедиться, что таким же образом определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца.

Например, Δ = или

Δ = .

Аналогично определяются определители n-го порядка:

= .

Рассмотрим свойства определителей, применение которых зачастую упрощает вычисление определителей.

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его транспонировать, т. е. строки и столбцы поменять местами.

Свойство 2. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

Свойство 3. Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух его строк (столбцов) пропорциональны.

Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Свойство 5. Определитель, все элементы какой-либо строки (столбца) кото-рого равны нулю, также равен нулю.

Свойство 6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Свойство 7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Свойство 9. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы слагаемых , то определитель также равен сумме определителей:

= + .

Аналогичное утверждение имеет место и для столбцов.

Свойство 10. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Замечание 1. Пусть А и В - квадратные матрицы одного порядка. Нетрудно убедиться, что |АВ| = |ВА| = ×|В|.

Замечание 2. Для упрощения вычисления определителей рекомендуется с помощью свойств преобразовать определитель так, чтобы в нем какая-либо строка (столбец) содержала максимальное число нулей, и затем разложить определитель по элементам этой строки.

2.2. Примеры решения задач

15. Вычислить определители:

а) , б) в) г)

д) е) ж)

Решение:

а) .

б) .

в) Разложим определитель по элементам первой строки:

Δ=

=12-15-2×(-8-25)+3×(-6-15) = -3+66-63=0.

Используя свойство 10, вычисление определителя можно упростить. Для этого в какой-либо строке (столбце) сделаем два нуля: первый столбец последовательно умножим сначала на (-2), затем на (-3) и прибавим ко второму и третьему столбцам соответственно:

D= в силу свойства 3, так как элементы второго и третьего столбцов пропорциональны.

г) Разложим определитель по элементам первого столбца:

.

д) Из второй строки определителя вынесем общий множитель 2, из третьей строки - общий множитель 3, из четвертой - общий множитель 4, а затем разложим определитель по элементам первой строки:

.

е) Из третьего столбца определителя вынесем общий множитель 2, из четвертого столбца тожевынесем общий множитель 2:

D=

Из четвертого столбца вычтем первый и разложим определитель по элементам первой строки:

D=

ж) Воспользуемся свойством 9 и представим определитель в виде суммы двух определителей:

.

Сумма этих определителей равна 0 на основании свойства 3, поскольку в первом определителе пропорциональны элементы первого и четвертого столбцов, а во втором определителе пропорциональны элементы первого и третьего столбцов.

Ответ: а) -29; б) 1; в) 0; г) 2; д) 24; е) 4; ж) 0.

16. Проверить, что

.

Решение. Из третьей и второй строк определителя последовательно вычтем элементы первой строки и затем разложим определитель по элементам первого столбца: