Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

,

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие по высшей математике

Утверждено методическим советом университета

Ростов - на - Дону

2001

УДК 512. 2 (075.6)

, Приходько линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебное пособие по высшей математике. - Ростов н/Д: Рост. гос. ун - т путей сообщения, 2001. - 104 с.

Учебное пособие состоит из одиннадцати разделов, первые девять из которых содержат: справочный материал по указанной теме; примеры решения типовых задач; упражнения для самостоятельного решения; простейшие приложения математики в экономике.

Представлены варианты контрольной работы по линейной алгебре и аналитической геометрии, а также 30 вариантов индивидуальных заданий.

Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 060800 «Экономика и управление на предприятии (транспорта)», 060500 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», изучающих высшую математику; одобрено к изданию кафедрой «Высшая математика – 2» и ученым советом МИПП РГУПС.

Табл. 9. Ил. 19. Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: д - р техн. наук, проф. (РГУПС); канд. физ. – мат. наук, доц. (РГУ)

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Учебное пособие по высшей математике

Редактор

Корректура

Подписано в печать 28.12.01. Формат 60 х 84/16.

Бумага овсетная. Печать овсетная. Усл. печ. л. 5, 76.

Уч.-изд. л. 7,0. Тираж 150. Изд. № 77. Заказ № .

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Лицензия ЛР № 65-54 от 10.12.99 г.

Ризография РГУПС. Лицензия ПЛД № 65-10 от 10.08.99

Адрес университета: 344038, Ростов н/Д, пл. Народного ополчения, 2

Ó Ростовский государственный университет путей сообщения, 2001

Оглавление

1. Матрицы, их виды. Операции над матрицами

1.1.  Справочный материал

1.2.  Примеры решения задач

1.3.  Упражнения для самостоятельного решения

2. Определители квадратных матриц

2.1. Справочный материал

2.2. Примеры решения задач

2.3. Упражнения для самостоятельного решения

3. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера.

3.1. Справочный материал

3.2. Примеры решения задач

3.3. Упражнения для самостоятельного решения

4. Обратная матрица

4.1. Справочный материал

4.2. Примеры решения задач

4.3. Упражнения для самостоятельного решения

5. Системы линейных уравнений. Матричный метод

5.1. Справочный материал

5.2. Примеры решения задач

5.3. Упражнения для самостоятельного решения

6. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

6.1. Справочный материал

6.2. Примеры решения задач

6.3. Упражнения для самостоятельного решения

7. Построение графиков ,

7.1. Справочный материал

7.2. Примеры решения задач

7.3. Упражнения для самостоятельного решения

8. Системы линейных неравенств

8.1. Справочный материал

8.2. Примеры решения задач

8.3. Упражнения для самостоятельного решения

9. Построение областей, ограниченных заданными линиями

9.1. Примеры решения задач

9.2. Упражнения для самостоятельного решения

10. Контрольные задания

10.1. Контрольная работа № 1

Задание 1. Операции над матрицами

Задание 2. Нахождение обратной матрицы

Задание 3. Решение систем линейных уравнений методами Крамера и матричным .

Задание 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Задание 5. Решение систем линейных неравенств

11. Индивидуальные задания

Рекомендуемая литература

1. МАТРИЦЫ, ИХ ВИДЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

1.1 Справочный материал

1.1.1. Определение матрицы

Матрицей размерностью m x n (m - строк, n - столбцов) называют прямоугольную таблицу чисел

.

1.1.2. Обозначение матрицы

Матрицу обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C, D, E,… X, Y, Z,… и кратко записывают так:

A= или A= ║║, 1≤ i≤ m, 1≤ j ≤ n.

1.1.3. Нуль матрица

Нуль-матрица (нулевая матрица) O состоит из нулей.

1.1.4. Матрица-строка

Матрица-строка () имеет размерность 1x n, а матрице-столбцу соответствует размерность m x 1.

1.1.5. Квадратная матрица

При m = n матрицу называют квадратной порядка n:

A=

1.1.6. Диагональная матрица

Диагональной D называют квадратную матрицу вида

D=.

1.1.7. Единичная матрица

Единичной E называют такую диагональную матрицу, для которой .

1.1.8. Транспонированная матрица

Если в матрице A поменять строки и столбцы (транспонировать матрицу), то получим матрицу , называемую транспонированной.

1.1.9. Равенство матриц

Определим равенство матриц:

если ≤ i≤ m, 1≤ j≤ n, то .

1.1.10. Умножение матрицы на число

При умножении матрицы , на число все элементы умножаются на это число: .

1.1.11. Сложение двух матриц

При сложении двух матриц одной размерности складываются соответствующие элементы этих матриц:

1.1.12. Свойства матриц

На основании определения указанных операций нетрудно установить их свойства:

1) A+B=B+A (переместительный закон сложения),

2) (A+B)+C=A+(B+C) (сочетательный закон),

3) A+0=A,

1.1.13. Умножение двух матриц

Рассмотрим две матрицы:

размерностью m p и размерностью p n такие, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Для таких матриц определим их произведение:

Таким образом, элемент матрицы равен сумме парных произведений элементов i- й строки матрицы A и j - го столбца матрицы B.

·  В тех случаях, когда произведение матриц определено, оно обладает следующими свойствами:

1)  AB≠BA (переместительный закон, вообще говоря, не справедлив);

2)  (A+B)C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB (распределительные законы);

3)  (AB)C=A(BC) (сочетательный закон).

·  Для квадратной матрицы A и матрицы Е той же размерности справедливы равенства АЕ=ЕА=А.

1.2.  Примеры решения задач

1. Даны две матрицы и B = .

Найти матрицу C = 3A-2В .

Решение. С=3А+(-2)В. Найдем матрицы

3А= и (-2)В=(-2) .

Складывая эти матрицы, получим

С=

Ответ:

2. Найти матрицу В такую, которая в сумме с матрицей Е равна матрице

А=

Решение. Согласно условию В+Е=А В=А-Е=А+(-1)Е, где Е=

Применим правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц:

В=

Ответ:

3. Найти матрицу АВ, если А = В=.

Решение. Применяя правило умножения матриц, получаем

АВ = = .

Если будет необходимо найти произведение ВА для заданного условия, то произведение ВА не определено, поскольку матрица В имеет три столбца, а матрица А - две строки.

Ответ: .