Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 6 )

Обратная матрица

Тогда

Таким образом, в соответствии с уравнением X = A-1B получим

Ответ: х1 = 2, х2 = -1, х3 = -3.

37. В табл. 5 приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной.

Таблица 5

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
1	Станкостроение	16	12	24	22	15	15	100
2	Энергетика	11	4	36	14	7	20	100
3	Машиностроение	9	6	10	11	12	10	50
4	Автомобильная Промышленность	10	4	9	5	6	15	50
5	Добыча и переработка углеводородов	200	100	100	50	50	40	100

Решение. Согласно условию задачи хi – общий объем продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск); pij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции хj; yi - объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления). Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности гласит, что валовой выпуск i-й отрасли равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В наиболее простой форме (гипотеза линейности) балансовые соотношения имеют вид

xi = xi1 + xi2 + …+ xin + yi; i = 1, 2, …, n. (9)

Уравнения (9) называют соотношениями баланса. Известный экономист

В. Леонтьев установил, что величины aij = xij/xi в течение длительного времени изменяются незначительно и фактически могут считаться постоянными. На основании этого факта естественно предположить, что для производства продукции j-й отрасли объема xj нужно использовать продукцию i-й отрасли объема aijxi при условии, что aij – постоянные числа. Такое допущение называют гипотезой линейности, технологию производства - линейной, числа

aij – коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности

xij = aij × xj; i, j = 1, 2, 3, … n. (10)

Тогда на основании балансовых соотношений (9) получим систему уравнений

(11)

В матричной форме система (11) примет вид

X = AX + Y, (12)

где

. (13)

Соотношение (12) называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Матричное уравнение (12) в совокупности с условиями (13) называют моделью Леонтьева.

Матрицу А, все элементы которой неотрицательны, называют продуктивной, если для любой матрицы Y c неотрицательными элементами решением системы (12) является матрица X с неотрицательными элементами. Установлено, что матрица А является продуктивной, если ее элементы неотрицательны и для некоторой матрицы Y с неотрицательными элементами решением уравнения (12) является матрица X c неотрицательными элементами.

Уравнение (12) запишем в виде

EX = AX + Y Þ (E – A) × X = Y. (14)

Если матрица Е – А имеет обратную матрицу (Е – А)-1, то уравнение (14) имеет единственное решение: X = (E – A)-1×Y.

Матрицу (Е – А)-1 называют матрицей полных затрат.

Укажем два критерия продуктивности матрицы А с неотрицательными элементами:

1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует обратная матрица (Е – А)-1 с неотрицательными элементами;

2) матрица А продуктивна, если сумма элементов любой ее строки (столбца) не превосходит единицы:

причем хотя бы для одной строки (столбца) эта сумма меньше единицы.

Применяя формулы (10), найдем элементы аij матрицы

(15)

На основании формул (15) получаем:

.

Все элементы матрицы А положительны, но сумма элементов четвертого столбца больше единицы (0,44 + 0,28 + 0,22 + 0,10 = 1,04). На основании второго критерия продуктивности заключаем, что матрица А не является продуктивной. С экономической точки зрения непродуктивность матрицы А означает, что внутреннее потребление четвертой отрасли велико в соотношении с валовым выпуском.

Ответ: матрица прямых затрат

не является продуктивной.

38. Табл. 6 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до величин 50; 80; 40.

Таблица 6

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
1	2	3
1	Добыча и перера-ботка углеводо-родов	6	30	19	30	100
2	Энергетика	11	12	20	50	100
3	Машиностроение	18	9	11	20	50

Решение. Запишем матрицу А, применив для ее нахождения формулы (15):

.

Для матрицы A выполняются оба критерия продуктивности, поэтому она продуктивна.

Найдем новую матрицу , удовлетворяющую соотношениям баланса при условии, что матрица А неизменна. Элементы х1, х2, х3 матрицы являются решением системы

(16)

В матричной форме система (16) имеет вид

. (17)

Преобразуем матричное уравнение (17):

. (18)

Решение уравнения (18) в матричной форме имеет вид

(19)

при условии, что матрица E – A имеет обратную, то есть ее определитель

½E - A½¹ 0.

Найдем обратную матрицу (Е – А)-1, записав матрицу Е – А в виде

Е – А = (bij), 1£ i £ 3, 1£ j £ 3.

Тогда

Согласно первому критерию, матрица (Е – А)-1 является продуктивной. Используя (19), найдем матрицу валового выпуска :

На основании полученных результатов приходим к выводу: для обеспечения заданного увеличения элементов матрицы конечного продукта нужно увеличить соответствующие валовые выпуски: