Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 5 )

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

4.1. Справочный материал

Матрица, обратная квадратной матрице А, обозначается А-1 и определяется соотношениями А-1× A = A × A-1= E.

Известно, что матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля: ïAï¹ 0.

На основании свойств определителей, правила умножения матриц и понятия обратной матрицы нетрудно установить, что если

, то ,

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij, 1£ i £ n, 1£ j £ n.

4.2.  Примеры решения задач

31. Найти обратную матрицу A-1 и показать, что A-1 × A = E.

a), б) .

Решение:

а) Вычислим определитель матрицы A, разложив его по элементам первой строки:

Так как то матрица A имеет обратную. Обратная матрица A-1 матрицы

находится по формуле

(5)

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А, 1 £ i3, 1£ j 3. .

Найдем алгебраические дополнения элементов заданной матрицы A.

На основании формулы (5) находим

Выполним проверку:

Следовательно, обратная матрица A-1 найдена правильно.

б) Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам четвертой строки.

значит, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения матрицы A.

Обратная матрица

Следовательно,

Убедимся, что решение верное, то есть A-1 × A = E. Действительно,

Ответ: а) б)

4.3. Упражнения для самостоятельного решения

32. Найти матрицу A-1 , обратную матрице A. Показать, что A-1× A = E.

а) , б)

33. При каких значениях l матрица

не имеет обратной матрицы?

34. Вычислить матрицу В = 2 (А-1)¢ + 3A¢ - 5E, если .

Замечание. - матрица, транспонированная по отношению к матрице А;

- к матрице .

5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД

5.1. Справочный материал

Если определитель системы n – линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Такую систему можно решить и матричным методом.

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(6)

Введем матрицы:

.

Матрица А составлена из коэффициентов при неизвестных х1, х2, х3;

Х – матрица-столбец неизвестных величин, В – матрица-столбец свободных членов.

Используя правило умножения матриц и понятие равенства матриц, на основании принятых обозначений систему (6) запишем в матричной форме:

A × X = B . (7)

Предположим, что то есть матрица A имеет обратную матрицу .

Левую и правую части равенства (7) слева умножим на :

A-1 × A × X = A-1·B. Учитывая, что , получим решение системы (6) в матричной форме: X = A-1 × B.

5.2. Примеры решения задач

35. Решить систему матричным методом.

(8)

Решение. Введем матрицы:

, , .

Тогда в матричной форме система (8) запишется так: AX = B. Вычислим определитель матрицы А:

Так как , то матрица А имеет обратную А-1 и решение системы (8) в матричной форме примет вид Х = А-1× В.

Построим обратную матрицу А-1:

Получаем

Найдем произведение А-1·В матриц А-1 и В:

На основании равенства Х=А-1·В заключаем, что

.

Ответ: х1 = -1, х2 = 3, х3 = 2.

36. Решить систему матричным методом:

Решение. Введем матрицы:

,

Вычислим определитель матрицы А:

.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А: