Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 8 )

Описанный процесс повторяется до тех пор, пока в каждой строке и каждом столбце матрицы А находится (и только один раз) отличный от нуля ведущий элемент. При этом всякий раз сохраняются все ранее «обнуленные» столбцы, ведущая строка, «обнуляется» новый ведущий столбец, а все остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольников (28). В процессе преобразований строки таблицы можно делить или умножать на некоторое число, можно складывать между собой, предварительно, если нужно, умножив каждую строку на константу. На основании последнего вида таблицы получаем систему

45.

Решение

Запишем коэффициенты системы, ее свободные члены и элементы контрольного столбца в таблицу и применим метод Жордана – Гаусса.

х1	х2	х3	х4	b	S
1	-1	2	-3	1	0
1	4	-1	-2	-2	0
1	-4	3	-2	-2	-4
1	-8	5	-2	-2	-6

В качестве разрешающего (ведущего) элемента взят коэффициент 1 при х1 в первом уравнении системы. Первую строку (ведущую) перепишем без изменения, первый (ведущий) столбец «обнулим», заменив в нем все элементы, кроме ведущего, нулями. Все остальные элементы найдем, применив правило прямоугольника.

х1	Х2	х3	х4	b	S
1	-1	2	-3	1	0
0	5	-3	1	-3	0
0	-3	1	1	-3	-4
0	-7	3	1	-3	-6

Продолжим выше описанный процесс

х1	Х2	х3	х4	b	S
1	14	-7	0	-8	0
0	5	-3	1	-3	0
0	-8	4	0	0	-4
0	-12	6	0	0	-6

Разделим элементы третьей строки на 4, четвертой – на 6 и продолжим преобразования.

х1	Х2	х3	х4	b	S
1	14	-7	0	-8	0
0	5	-3	1	-3	0
0	-2	1	0	0	-1
0	-2	1	0	0	-1

х1	Х2	х3	х4	b	S
1	0	0	0	-8	-7
0	-1	0	1	-3	-3
0	-2	1	0	0	-1
0	0	0	0	0	0

Вычеркивая строку нулей и умножая вторую и третью строки на (-1) (не обязательно!), получаем таблицу

х1	х2	х3	х4	b	S
1	0	0	0	-8	-7
0	-1	0	1	-3	-3
0	-2	1	0	0	-1

Последняя таблица приводит к системе

Положим х4 = a. Тогда х2 = 3 + х4 Þ х2 = 3 + a ; х3 = 2х2 Þ х3 = 2(3 +a),

a - произвольно. Система имеет бесконечное множество решений (в процессе решения она свелась к системе трех уравнений с четырьмя неизвестными).

Ответ: х1 = -8, х2 = 3 + a, х3 = 6 + 2a, х4 = a, a Î R,

где R – множество всех действительных чисел.

46.

Решение

Решим систему методом Гаусса

~~

~~.

Последовательность действий такова:

1)  первая строка последовательно умножается на (-1), (-3) и (-2) и прибавляется ко второй, третьей и четвертой строкам соответственно;

2)  вторая строка прибавляется сначала к третьей, а затем к четвертой строке;

3)  третья и четвертая строки нулей вычеркиваются.

Вид последней матрицы убеждает в том, что исходная система сводится к системе двух уравнений с четырьмя неизвестными, то есть является неопределенной.

Последнюю систему запишем в виде

(29)

Положим x3=a, x4 = b. Тогда . Из первого уравнения системы (29) выразим

Ответ:

47.

Решение

Решим систему методом Жордана - Гаусса.

x1	x2	x3	x4	B	S
1	-2	3	-4	2	0
3	3	-5	1	-3	-1
-2	1	2	-3	5	3
3	0	3	-10	8	4
1	-2	3	-4	2	0
0	9	-14	13	-9	-1
0	-3	8	-11	9	3
0	6	-6	2	2	4
1	-2	3	-4	2	0
0	9	-14	13	-9	-1
0	-3	8	-11	9	3
0	3	3	1	1	2
1	10	-9	0	6	8
0	-30	25	0	-22	-27
0	30	-25	0	20	25
0	3	-3	1	1	2
1	10	-9	0	6	8
0	-30	25	0	-22	-27
0	0	0	0	-2	-2
0	3	-3	1	1	2
1	10	-9	0	6	8
0	-30	25	0	-22	-27
0	0	0	0	1	1
0	3	-3	1	1	2

Последовательность действий такова: