Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 12 )

68. х1 + 4х2 £ 4, - х1 + х2 £ 0, х1 ³ 0, х2 ³ 0.

69. -х1 - х2 £ -2, х1 + 3х2 £ 6, х1 ³ 0, х2 ³ 0.

70. -х1 + 4 х2 £ 4, х1 £ 12, х1 ³ 0, х2 ³ 0.

9. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЗАДАННЫМИ ЛИНИЯМИ

9.1. Примеры решения задач

Построить (схематично) область, ограниченную заданными линиями. Найти точки пересечения линий.

71. у = -2х, у=1.

Решение.

- это функция общего вида, х Î (0; +¥).

Уравнение у=-2х определяет прямую, проходящую через начало координат.

При х = 0 находим у = 0 и при х = 1 определяем у = -2. Уравнение у = 1описывает прямую, параллельную оси Ох. Искомая область заштрихована рис.13. Для нахождения координат точек пересечения линий решают систему, составленную из уравнений этих линий. Точка А является пересечением линий у=-2х и у=1, поэтому для нахождения координат этой точки следует решить систему:

Рис. 13

Точка В является общей для линий и у =1. Решаем систему из уравнений и у =1: , х =1, В (1;1).

Ответ: О (0;0), А (- ;1), В (1;1).

72. 

Рис. 14

Уравнение у = - х2 определяет параболу с вершиной в начале координат, симметричную относитель-но оси Оу, ветви которой направлены вниз (рис. 14). Уравнение у=2х+х2 задает параболу, ось симметрии которой параллельна оси Оу и ветви направлены вверх. Найдем точки пересечения этой параболы с осями координат: на оси Ох ордината у=0, 2х+х2=0, х(2+х)=0Þх1=0, х2=-2; на оси Оу абсцисса х=0, следовательно, у=0. Вершина параболы у=2х+х2 име-ет абсциссу х=-1, тогда у=-2+1=-1.

Прямая х=1 параллельна оси Оу. Искомая область заштрихована (рис. 14).

Координаты точек пересечения О (0;0) и А (1;-1) определяются по чертежу. Для нахождения координат точки В решим систему:

Ответ: О (0;0), А (1;-1), В (1;3).

73. у=(х+1)2, у=х+3.

Ось симметрии параболы у=(х+1)2 параллельна оси Оу, ветви направлены вверх, А (-1;0) – ее верши-на (рис. 15). Эта парабола пересекает ось Оу в точке (0;1). Уравнение у=х+3 задает прямую. Найдем точки пересечения задан-ных параболы и прямой и по этим точкам построим прямую.

Рис.15

Тогда у1=1, у2=4. Получим две точки А (-2;1) и В (1;4).

Ответ: А (-2;1), В (1;4).

74. у=х3.

График степенной функции у=хр в случае 0< р< 1 и х ³ 0 изображен на рис. 2. Согласно условию - функция общего вида, определенная при х ³ 0.

График степенной функции у=хр при р > 1 изображен на рис. 2. у=х3 – нечетная функция (р=3), ее график симметричен относительно начала координат. Графики обеих функций и у=х3 проходят через точки О (0;0) и А(1;1) (рис. 16). Ограниченная задан-ными линиями область изображена на рис. 16. Ответ: О (0;0), А (1;1).

Рис. 16

75. 

График степенной функции у=хр при р< 0 и х > 0 изображен на рис. 3. - нечетная функция.

- нечетная функция.

Графики обеих функций проходят через точку А (1;1) (рис. 17). Уравнение х=8 определяет прямую, проходящую параллельно оси Оy.

При

При

Искомая область заштрихована рис. 17.

Рис. 17

Ответ: А (1; 1), С (8; 2).

76. у = х2 - 1, 4х - у - 4 = 0, у = 8.

Уравнение у = х2 - 1 определяет параболу с осью симметрии Оу, вершиной в точке А (0;-1), оси которой направлены вверх (рис. 18).

Найдем точки пересечения параболы у = х2 - 1 с осью Ох:

Найдем точки пересечения параболы у = х2 - 1 и прямой 4х - у - 4 = 0:

Тогда у1 = 1 - 1 = 0, у2 = 9 - 1 = 8 и А (1; 0), В (3; 8).

Прямая у = 8 параллельна оси Ох. Для точки С ордината у = 8, значение абсциссы найдем, подставив у = 8 в уравнение параболы у = х2 - 1 Þ 8 = х2 - 1, х2 = 9, х = ±3. Таким образом, С (-3; 8). Абсциссу точки С можно было найти также из соображений симметрии относительно Оу параболы у = х2 - 1 и прямой у = 8. Ответ: А (1; 0), В (3; 8), С (-3; 8)	Рис. 18
77. График степенной функции симметричен относительно оси Оу. Прямая у = 1 параллельна оси Ох. Искомая область изображена на рис. 19. При х = ±1 ордината у = 1, то есть точки пересечения А и В определены: А (-1; 1), В (1; 1). Ответ: О (0;0), А (-1;1), В (1;1).	Рис. 19

9.2. Упражнения для самостоятельного решения

Построить область, ограниченную заданными линиями, найти точки пересечения линий.

78. у = (х+1)2, х + у = 1, у = 0.

79. у = 4 - х2, у = х + 2, у = 0.

80. у = 4х - х2, у = 4 - х, у = 0.

81. у = 3х2, у = 1,5х + 4,5, у = 0.

82. у = (х - 2)2, у = 0.

83. у = х3, у = 2х - х2, у = 0.

84. у = х2 + 3х, у = 0.

85. у = х2 - 4х +3, у = 0.

86. у = х2 + 1, у = 3 - х.

87. у = (х + 2)2, х - у + 2 = 0.

88. у = , у = х2.

89. у = , у = х.

90. у = - х2, у = -2.

10. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

10.1. Контрольная работа № 1

Задание 1. Операции над матрицами

91  – 100. Даны матрицы А и В. В №№ 91 - 95 найти матрицу С;

в №№ 96 - 100 найти матрицы АВ и ВА.

91. А =

92. А =

93. А =

94. А =