Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (стр. 7 )

добычу и переработку углеводородов – на 55,6 % ;

уровень энергетики – на 152, 1 % ;

выпуск машиностроения – на 69,6 % по сравнению с исходными данными .

Ответ:

5.3. Упражнения для самостоятельного решения

Решить системы матричным методом:

39. 40.

41. 42.

43. В табл. 7 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (усл. ден. ед.).

Таблица 7

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Энергетика	Машино-строение
Произ-водство	Энергетика машино-строение	7 12	21 15	72 123	100 150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

6.1. Справочный материал

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

(20)

Любая система линейных уравнений с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами. Поэтому свойства системы в полной мере проявляются в свойствах соответствующей матрицы.

Матрицу А = , составленную из коэффициентов при неизвестных, называют матрицей системы. Если к ней присоединить столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу В системы (20):

Очевиден переход от матрицы В к системе и обратно.

Элементарными назовем следующие преобразования матриц:

1)  перестановка строк матриц;

2)  умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

3)  прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число;

4)  вычеркивание строки, состоящее из нулей;

5)  сохранение одной из нескольких равных строк.

В результате элементарных преобразований от матрицы В можно перейти к матрице вида

(21)

которой соответствует система

(22)

Можно показать, что элементарные преобразования матрицы В в матрицу В¢ обеспечивают переход системы (20) в равносильную систему (22). Решение последней затруднений не вызывает: сначала находят, если это возможно, (, х4, затем («поднимаясь» вверх) определяют последовательно х3, х2 и, наконец, х1.

Замечание 1. Формулы Крамера и матричный метод позволяют найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в том случае, когда это решение единственно, то есть определитель матрицы отличен от нуля. Метод Гаусса универсален в том смысле, что

1)  применим к решению систем n линейных уравнений с m неизвестными;

2) позволяет исследовать системы, имеющие либо единственное решение (совместные и определенные), либо бесконечное множество решений (совместные и неопределенные), либо не имеющие решений (несовместные).

В случае, когда система (20) имеет единственное решение, расширенная матрица системы приводится к виду (21), то есть матрица системы А переходит в матрицу так называемого треугольного вида.

В случае неопределенной системы, когда число неизвестных превосходит число линейно независимых уравнений системы, матрица А после элементарных преобразований оказывается не треугольной, а трапециевидной.

Но и тогда не представляет труда сделать вывод о совместности системы и найти сами решения.

В случае несовместности исходной системы после элементарных преобразований матрицы во вновь полученной системе обязательно появится уравнение вида 0 = 1, которое означает, что система не имеет решений.

Замечание 2. При решении системы методом Гаусса целесообразно использовать так называемый контрольный столбец, позволяющий судить о правильности действий. Первоначально элементы контрольного столбца получают как суммы элементов соответствующей строки расширенной матрицы. В процессе элементарных преобразований изменяются и элементы контрольного столбца, всякий раз оставаясь суммой элементов строки.

6.2. Примеры решения задач

Решить систему методом Гаусса.

44.

(23)

Решение. 1) Составим матрицу А системы из коэффициентов при неизвестных

(24)

К матрице А присоединим столбец свободных членов и контрольный столбец. Получим матрицу В:

(25)

Для упрощения вычислений поменяем местами первую и вторую строки и получим матрицу, эквивалентную матрице В («~» – знак эквивалентности матриц):

Первую строку умножим сначала на (-3), затем на (-4) и, наконец, на (-1) и прибавим ко второй, третьей и четвертой строке соответственно. Снова получим матрицу, эквивалентную матрице В:

Обратите внимание, что, работая со строками, мы одновременно подвергаем элементарным преобразованиям и элементы последнего контрольного столбца, но при этом каждый его элемент остается равным сумме элементов соответствующей строки.

Снова для удобства вычислений поменяем местами вторую и четвертую строки:

Умножим вторую строку последовательно на (-5), (-3) и прибавим к элементам третьей и четвертой строки соответственно:

Из третьей строки вычтем соответствующие элементы четвертой строки:

Элементы третьей строки умножим на 5 и прибавим к элементам четвертой строки:

Элементы второй и третьей строк умножим на (-1), а элементы четвертой разделим на (-12):

(26)

Таким образом, в результате элементарных преобразований матрица А, входящая в матрицу В, приведена к треугольному виду. И это наша первая цель, так называемый прямой ход. Теперь дадим обратный ход, восстановив по матрице (26) систему подобно тому, как была составлена матрица (25) на основании системы (23):

(27)

Из последнего уравнения системы (27) имеем х4 = 4. Из третьего уравнения находим х3 = 7 – х4 = 7 – 4 = 3. Из второго уравнения х2 = -2 + х4 =

-2 + 4 = 2. И, наконец, из первого уравнения системы (27) определим х1 = 4 – х2 + х3 – х4 = 4 – 2 + 3 – 4 = 1.

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4.

Замечание. Для решения систем линейных уравнений используют так называемый модифицированный метод Жордана – Гаусса, позволяющий непосредственно находить значения неизвестных. Для этого в матрице A

[(см. (24)] системы (23) выберем отличный от нуля элемент apq (для упрощения вычислений целесообразно, чтобы apq = 1), назовем этот элемент ведущим (или разрешающим), р-ю строку – ведущей и q-й столбец – ведущим. В таблице в качестве ведущего выбран элемент а21 = 1 (он заключен в рамку), стоящий во второй строке и первом столбце. При этом вторая строка – ведущая, ее сохраняем; первый столбец – ведущий, его «обнуляем», заменив в нем нулями все элементы, кроме ведущего. Все остальные элементы таблицы на втором этапе находим по правилу прямоугольника:

, (28)

x1	x2	x3	x4	b	S
3	0	2	-1	5	9
1	1	-1	1	4	6
4	-1	0	1	6	10
1	0	-1	2	6	8
0	-3	5	-4	-7	-9
1	1	-1	1	4	6
0	-5	4	-3	-10	-14
0	-1	0	1	2	2
0	-7	5	0	1	-1
1	2	-1	0	2	4
0	-8	4	0	-4	-8
0	-1	0	1	2	2
0	-7	5	0	1	-1
1	2	-1	0	2	4
0	-2	1	0	-1	-2
0	-1	0	1	2	2
0	3	0	0	6	9
1	0	0	0	1	2
0	-2	1	0	-1	-2
0	-1	0	1	2	2
0	1	0	0	2	3
1	0	0	0	1	2
0	-2	1	0	-1	-2
0	-1	0	1	2	2
0	1	0	0	2	3
1	0	0	0	1	2
0	0	1	0	3	4
0	0	0	1	4	5

где – новый элемент в i-й строке и j-м столбце, проставляемый на месте прежнего элемента aij.