Практикум тарифного менеджмента в страховых организациях Учебно-методическое пособие (стр. 3 )

Предполагаемый доход, на основе метода оптимизации, позволяет производить определение размера взноса в зависимости от величины страховой суммы и всевозможных дополнительных условий, при этом одновременно на любой момент времени определяется величина резерва взносов. Рассмотрим применение этого метода для одного из видов личного страхования.

Пусть N – cрок действия договора, lx – количество застрахованных в возрасте x. Минимальным временным интервалом удобно считать месячный интервал, тогда полное количество месяцев равно М = 12 х N. Через Vk обозначим месячную норму доходности, действующую в течение k-го месяца. Распределение смертей в течение года будем считать распределенным по линейному  закону, следовательно, в течение месяца умирает , где dx  - количество умирающих в возрасте х лет.

Количество застрахованных в начале и в конце k-го месяца обозначим через и соответственно.

Нетрудно видеть, что

 

здесь[….] – целая часть числа.

Уплата взносов производится с периодичностью m раз в течение лет, где . Введем функцию , учитывающую периодичность уплаты взносов, соотношением

 

при и при , где и - символ Кронекера-Вейерштрасса.

Пусть а – нагрузка в процентах, если размер брутто - взноса равен П на одного застрахованного, то нетто-взнос и суммарный нетто-взнос k-го месяца  равен - при уплате пренумерандо и равен - при уплате простнумерандо.

Обязанность по страховым выплатам возникает при наступлении страховых событий, и, несмотря на все многообразие схем личного страхования, основой их служат всего две причины: 1) дожитие застрахованного до определенной даты или 2) смерть застрахованного в течение срока страхования.

Страховые выплаты при дожитии

Данные выплаты получают все те застрахованные, которые дожили до определенной даты. Например, при смешанном страховании жизни производится выплата в размере страховой суммы всем дожившим до конца срока страхования, что может быть записано в виде

 

При страховании временной ренты выплаты производятся начиная с рентного возраста, например, через лет после начала договора и с периодичностью n раз в год. В этом случае выражение для выплат имеет вид

 

Здесь индекс А – при выплате пренумерандо, В – при выплате простнумерандо.

Страховые выплаты в случае смерти застрахованного

При смешанном страховании жизни выплаты по случаю смерти производятся в течение нескольких дней родственникам (выгодоприобретателем) в оговоренном размере от страховой суммы

  (24)

Где – процент выплаты от страховой суммы.

При страховании ренты страховщик принимает на себя обязательство по возрасту взносов в случае смерти застрахованного до наступления рентного возраста, например,  в течение лет с момента заключения договора. В этом случае выплаты даются выражением,  зависящим как от номера месяца k, так и от периодичности уплаты взносов

, 

при

Если застрахованный умирает после наступления рентного возраста, недополучив оговоренное количество гарантированных рент, например, за G лет, то выплаты будут даваться выражением.

, где - количество уже полученных рент имеет вид – выплата пренумерандо, – выплата постнумерандо.

Резерв взносов

Пусть Rk – резерв взносов на всех застрахованных в конце k-го месяца, Pk – резерв взносов на одного застрахованного также на конец k-го месяца. Очевидно, что Для определения резерва взносов удобно использовать рекуррентные соотношения.  При их записи необходимо учесть, что уплата взносов и выплата страховых возмещений, связанных с дожитием до оговоренных сроков, может производиться как пренумерандо, так и постнумерандо. Что касается выплаты страховых сумм в связи со смертью застрахованного, то естественно считать их происходящими ежемесячно. Рекуррентные соотношения для разных схем уплаты взносов и выплаты страховых сумм будут иметь вид:

Пренумерандо взносов и пренумерандо по выплатам.

 

Пренумерандо взносов и постнумерандо по выплатам

 

Постнумерандо взносов и пренумерандо по выплатам

 

Постнумерандо взносов и постнумерандо по выплатам

 

При уплате взносов пренумерандо начальный резерв равен нулю (R0=0), при уплате взносов постнумерандо начальный резерв равен U0 так как договор о страховании не считается вступившим в силу до уплаты хотябы части взносов. Если считать, что в начале должна вноситься часть в размере % от брутто-взноса, то начальный резерв на всех застрахованных будет равен

 

В конце срока страхования резервов  взносов на одного застрахованного должен достигать определенной величины, например, при смешанном страховании жизни PM = S, где S – страховая сумма по дожитию, при страховании ренты S – размер рентной платы. Расчетное значение резерва при страховании временной ренты достигается  в случае пренумерандо выплат при k = M при постнумерандо по выплатам, то есть в зависимости от периодичности рентных выплат.

Таким образом, расчет ставок методом оптимизации (нахождение искомой нетто - или брутто-ставки) (рис. 1) можно предоставить следующим образом: для начального значения брутто-ставки-П, производится по

Рис. 1.

вышеприведенным рекуррентным соотношениям, расчет резерва взносов, Конечное значение резерва РМ сравнивается с S, то есть вычисляется значение целевой функции , в зависимости от  этого меняем значение П и снова производим вычисление резерва, пока целевая функция не обратится в ноль. Существует большое количество алгоритмов, предназначенных для минимизации функций. Среди них можно отметить метод Хука-Дживса, как наиболее надежный и простой при численной реализации

(Описание метода Хука-Дживса и его программную реализацию на языке Бейсик можно найти в справочной литературепо методам линейного и нелинейного программирования). Блок "вычисление резерва взносов" включает в себя как стандартные условия по договорам личного страхования, так и всевозможные дополнительные условия, которые заносятся в него по мере необходимости. В вызывающей программе удобно указывать только набор ключей, активизирующих те или иные параметры в блоке "вычисления резерва взносов".

Предлагаемая методика может быть распространена практически на весь спектр условий, возникающих при страховании жизни.

В качестве иллюстрации предлагаемой методики рассмотрим расчет тарифных ставок по некоторым видам личного страхования с нетипичными дополнительными условиями.

Смешанное страхование жизни

Срок страхования – 3 года и 7 месяцев. Возраст застрахованного – 40 лет (мужчина). Нагрузка – 5%. Норма доходности: 1-й год – 60%, 2-й год –40%, 3-й год – 30%, 4-й год – 20%. Выплаты по смерти (в процентах от страховой суммы по дожитию): 1-й год – 100%, 2-й год – 200%, 3-й год –300% и на 4-м году – 400%. В таблице 1 приведены размеры брутто-ставок при уплате взносов – единовременно, ежегодно, ежеквартально, ежемесячно (уплата взносов – пренумерандо) и приводится резерв взносов на конец месяца при ежемесячной уплате взносов.