Практикум тарифного менеджмента в страховых организациях Учебно-методическое пособие (стр. 5 )

Вектор = (x1, x2, ...,xn), удовлетворяющий системе ограничений (1), (2) называется допустимым решением или планом ЗЛП; т. е. ограничения определяют область допустимых решений или планов задачи линейного программирования.

План  (допустимое  решение),  который  доставляет  максимум (минимум) целевой функции называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.

Линейное программирование используется при решении задач в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными зависимостями. Отыскиваемые при этом неизвестные переменные обеспечивают экстремум (минимум или максимум) целевой функции.

Для конкретной страховой компании можно сформировать различные варианты плана процесса страхования. При этом необходимые для его выполнения ресурсы и полученные от его реализации результаты будут различны. Один вариант плана с точки зрения достижения величины какого-либо из показателей или соблюдения выполнения определенных условий будет лучше, а другой - хуже. Когда вариант плана производства является наилучшим с позиций достижений определенного уровня конкретного показателя, например получения максимальной прибыли и достижение финансовой устойчивости и т. д., то говорят об оптимальном плане, а процесс его составления называют оптимальным планированием. Оптимальный план может, например, обеспечить максимальное число договоров при определенном уровне наличных ресурсов или минимальную себестоимость продукта и т. п.

Для получения оптимального плана можно использовать методы линейного программирования. Их значение в условиях полного хозяйственного расчета и самофинансирования значительно увеличивается, так как они становятся одним из факторов повышения прибыли и хозрасчетного дохода предприятия. Линейное программирование - направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными (неизвестными величинами) и линейным критерием.

Экстремальные задачи - это задачи, при решении которых находится экстремум функции, т. е. ее максимум или минимум.

Необходимым условием постановки задач линейного программирования являются ограничения на наличные ресурсы, на величину спроса и другие факторы. Другим условием постановки и решения плановой задачи методами линейного программирования является выбор количественно оцениваемого критерия оптимальности плана.

Показатель, по которому оценивается мера эффективности плана, его оптимальность, называется критерием оптимальности. Выбрать признак или показатель, по которому должны сравниваться варианты, достаточно сложная работа.

Критерий оптимальности должен удовлетворять следующим требованиям: 1) быть единственным, т. е. одним для данной задачи; 2) количественно измеряться.

И, наконец, важным условием является линейная зависимость между различными неизвестными величинами (переменными), используемыми в задаче.

1.2.4.  Формирование концептуальной модели

В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции f (x).

Необходимым условием постановки задач линейного программирования являются ограничения на наличные ресурсы, на величину спроса и другие факторы. Другим условием постановки и решения плановой задачи методами линейного программирования является выбор количественно оцениваемого критерия оптимальности плана. Показатель, по которому оценивается мера эффективности плана, его оптимальность, называется критерием оптимальности. Выбрать признак или показатель, по которому должны сравниваться варианты, достаточно сложная работа.

Критерий оптимальности должен удовлетворять следующим требованиям: 1) быть единственным, т. е. одним для данной задачи; 2) количественно измеряться. И, наконец, важным условием является линейная зависимость между различными неизвестными величинами (переменными), используемыми в задаче.

В нашем случае концептуальной задачей является нахождение оптимальной величины тарифной ставки по страхованию жизни. А, так как оптимизация тарифных ставок тесно связана с оптимизацией страхового фонда, который является совокупностью начального страхового фонда w0 и привлеченного и, то определив размер фонда можно найти и величину нетто-ставки. Таким образом, задача нахождения нетто-ставки сводится к определению необходимого размера страхового фонда по страхованию жизни.

На процедуру оптимизации накладываются следующие ограничения:

по фонду; по надежности; по количеству договоров; по резервам; по вероятности смерти и тд.

Построение целевой функции состоит в том, чтобы на ее основе в системе линейного программирования, реализуемого на ЭВМ найти такие значения переменных, при которых функция цели стремится к экстремуму и является оптимальной для данной цели. Но задача линейного программирования не реализуется, если не сформулированы ограничения на каждую переменную, причем число ограничений должно быть не меньше чем количество переменных. После формирования функции цели и ограничений с помощью компьютерной программы MS Excel решается задача линейного программирования, т. е. определяется значение переменных, при которых достигается поставленная цель и удовлетворяются накладываемые на эти переменные ограничения. Этот путь приемлем в том случае, когда система имеет две или три переменные. При этом симплекс-метод реализуется простой системой алгебраических неравенств. Но при наличии большего числа переменных задача решается с применением симплекс-метода.

Симплекс-метод решения задач линейного программирования был разработан в конце 40-х годов американским математиком Данцигом. Этот метод может быть использован для решения комплекса задач внутри страховой компании: формирование специфицированной годовой программы календарного распределения, распределения годовой программы выпуска по кварталам, квартальной - по месяцам, месячной - по декадам и пятидневкам и т. п.

Основная идея симплекс-метода состоит в следующем:

1) принимается за базу одна из возможных программ - отправная (опорный план);

2) осуществляется ее пошаговое улучшение, пока не будет получен оптимум по заданной критериальной функции.

Таким образом, проблема сводится к определению отправного варианта программы и нахождению способа улучшения последнего. При этом при формировании первоначального варианта программы создается как бы запас, возможность реализации в виде резервов тех ресурсов, которые регламентируются в сложившейся ситуации. В процессе преобразований одни переменные вводятся в план, другие исключаются из него. С каждым шагом план приближается к оптимальному и, в конечном счете, приходит к нему, если в условиях задачи нет противоречия. За счет пошагового перераспределения ресурсов между планируемыми на выпуск продукта находится такое сочетание номенклатуры и количества этого продукта, которое является наилучшим с точки зрения достижения заданного критерия оптимальности и использования имеющихся ресурсов.

Решение задач симплекс-методом предусматривает выполнение следующих процедур:

1)        формирование целевой функции;

2)        определение  ограничительных  условий - функциональных
ограничений, которые могут иметь вид неравенств;

преобразование ограничений из неравенств в систему равенств
путем  ввода  вспомогательных,  свободных  переменных
(последние имеют экономическое содержание и характеризуют
резерв, неиспользованный остаток тех ресурсов, по которым
введено ограничение); построение исходной симплексной таблицы - матрицы, в которой
в формируемый план входят только свободные переменные; ввод в исходный вариант плана реальных переменных и, прежде
всего тех, которые в наибольшей степени реализуют целевую
функцию, минимизируют ее;

6) определение числового значения вводимой переменной - величины программы.

В качестве примера рассмотрим логическую схему расчетов симплексным методом.

Для конкретной страховой компании можно сформировать различные варианты плана процесса страхования. При этом необходимые для его выполнения ресурсы и полученные от его реализации результаты будут различны. Один вариант плана с точки зрения достижения величины какого-либо из показателей или соблюдения выполнения определенных условий будет лучше, а другой - хуже. Когда вариант плана процесса страхования является наилучшим с позиций достижений определенного уровня конкретного показателя, например получения максимальной прибыли, и достижения финансовой устойчивости и т. д., то говорят об оптимальном плане, а процесс его составления называют оптимальным планированием. Оптимальный план может, например, обеспечить максимальное число договоров при определенном уровне наличных ресурсов или минимальную себестоимость с продукта и т. п.

1.2.5. Формализация целевой функции и ограничения

Этап формализации характеризуется:

1.        введением  стандартных  обозначений,  характеризующих
переменные (х1 х2, х3, ..., хn), входящие в качестве компонент
страхового фонда;

2.        построением модели линейного программирования, для которой
необходимо следующее:

формирование целевой функции, выражающей зависимость размера страхового фонда от суммы произведений переменных на их коэффициенты (вида: ); множество ограничений, которые можно выразить в виде системы уравнений, количество которых должно быть больше или равно числу переменных.

Следующий  этап  формализации  характеризуется  методикой реализации модели в системе линейного программирования.

Общая формула для расчета страхового фонда принимает следующий вид:

, 

где тх - математическое ожидание;

а (у) - квантиль нормированного нормального распределения уровня у. Показывает гарантию превышения собранных премий над выплатами; ах - среднеквадратическое отклонение.