Анализ проблемных ситуаций и методы решения проблем (стр. 14 )

Рис. 9. Ретроспективный анализ задачи:

g и g1 позиции, рассматриваемые как «ИЛИ»– подзадачи; h –  решение задачи.

Рис. 10. Определение подцели задачи:

КП – критическая позиция, являющаяся подцелью; d – докритическая позиция; е – послекритическая позиция.

Выступая в качестве подцели, критическая позиция КП позволяет расщепить исходную задачу на две «И»-подзадачи – достижение позиции КП и позиции h. Сопоставление позиций а с КП и КП с h показывает, что обе «И»– подзадачи
не являются тривиальными, т. е. их решения не очевидны и не могут быть получены за один ход (см. рис. 8 и 10). Но обе «И»– подзадачи расщепляются на ряд «ИЛИ»– подзадач, решения которых при наличии критерия предпочтительности, в качестве которого выступает критическая позиция, достаточно тривиальны.

Ретроспективный анализ на глубину в один ход привел к выделению двух «ИЛИ»– подзадач – достижению позиций g и g1 (см. рис. 9). Продолжив анализ, можно определить, что позиция g может привести к позициям g1 или f, а позиция g1 – к позициям g или f1, которые также являются «ИЛИ» – подзадачами, но уже следующего, второго порядка. В отличие от «ИЛИ» – подзадач первого порядка, решение полученных «ИЛИ» – подзадач осуществляется за один ход: сопоставляя позиции g, g1, f, f1, с позицией КП как критерием предпочтительности, выявляем предпочтительность одной из них – которая переводится в послекритическую позицию е за один ход (рис. 11). Решение «ИЛИ»– подзадач второго порядка обусловливает тривиальность решения предыдущих «ИЛИ»– подзадач: предпочтительность позиции f делает очевидной и предпочтительность позиции g перед g1.

Рис. 11. Определение предпочтительности «ИЛИ»–  подзадач:

g – позиция, переводимая в послекритическую позицию е за два хода; g1 – позиция переводимая за то же количество ходов в позиции е1, е2, е3, но не тождественные позиции е; f и f1 – промежуточные позиции.

Аналогичным образом, расщепляя на «ИЛИ»– подзадачи, можно решить и вторую «И»– подзадачу, а следовательно, и задачу в целом. Есть и другой путь. Расщепляя исходную задачу на две «И»– подзадачи, позиция КП является своеобразной осью симметрии, делящей весь процесс решения задачи на две зеркально-подобные части: часть решения задачи до критической позиции («докритическое решение») аналогична части решения, переводящей критическую позицию в конечное состояние. Проведенный ретроспективный анализ решения задачи позволил получить ряд тривиальных подзадач, представляющих собой «послекритическую» часть ее решения. Используя зеркальное отображение этого решения на «докритическую» часть задачи, получаем ее полное решение (рис. 12).

Рис. 12. Полное решение задачи:

а – исходная позиция; h – решение задачи; b, c, d, e, f, g – необходимые промежуточные позиции; I, II – «И»– подзадачи; КП критическая позиция, разделяющая задачу на подзадачи и являющаяся осью симметрии решения.

Таким образом, расщепление задачи на подзадачи, осуществляемое по какому-то критерию, выступающему в качестве подцели решения, позволяет упростить ее решение и служит в качестве некоторого общего алгоритма решения задач.

Рассмотрим еще один пример, взятый Д. Пойа [Роlуа, 1972, с. 27 - 33] из китайского математического трактата двухтысячелетней давности: найти общие делители двух положительных целых чисел m и n (91 и 49). Так как заданные числа являются достаточно большими, что затрудняет нахождение общего для них делителя, древний китайский автор рекомендовал заменить данную задачу А вспомогательной задачей: если m>n, то необходимо найти общие делители для m–n и n (задача Б). Данная рекомендация может быть обоснована тем, что любой общий для m и n делитель является так же делителем для m–n. А это означает, что пара m– n, n имеет те же общие делители, что и пара m и n. Следовательно, задачи А и Б имеют одно и то же решение, т. е. задача Б является «ИЛИ»– подзадачей задачи А (Д. Пойа такие задачи называет эквивалентными). В силу того что m – n<m, задача Б проще задачи А. Но и для полученных в результате решения задачи Б чисел 42 и 49 общий делитель еще не очевиден. Но чтобы перейти к еще более простой эквивалентной Б «ИЛИ» – подзадаче (задаче В), можно воспользоваться тем же методом: n – (m – n) = 2n – m = 2·49 –  91 = 7; вторым членом пары в задаче В является m– n=42. Таким же путем приходим к подзадаче Г: (m – n) – (2n – m) = 2m – 3n =2·91 – 3·49 = 35; второй член пары 2n – m = 2·49 – 91 = 7. В целях упрощения опустим переходы к последующим подзадачам и покажем общий ход численного решения задачи А: А –  91, 49; Б– 42, 49; В – 42, 7; Г – 35, 7; Д – 28, 7; Е – 21, 7; Ж – 14, 7; З – 7, 7.

Таким образом, исходная задача А, в которой необходимо было найти общие делители для двух чисел (91 и 49), являющихся достаточно большими для того, чтобы эти делители были очевидными, заменена эквивалентной подзадачей 3, числа которой являются простыми (7 и 7) и, следовательно, нахождение общего делителя для них является тривиальной процедурой.

Подведем итоги.

Сведение задачи к подзадачам оказывается возможным потому, что задача представляет собой совокупность иерархически упорядоченных вопросов. Это, в свою очередь, приводит к тому, что и решение задачи имеет иерархически упорядоченную структуру, что и делает возможным разложение задачи на подзадачи. В общем случае сложные задачи могут быть разложены на конъюнктивные задачи («И» – подзадачи), вся совокупность которых должна быть решена для решения исходной задачи, и дизъюнктивные задачи («ИЛИ»– подзадачи), решение любой из которых достаточно для решения исходной задачи. Если имеет место множество «ИЛИ» – подзадач, необходимо стремиться выбрать простейшую из них и попытаться решить ее и (или) найти аналогичные уже решенные задачи и использовать их для решения некоторых «ИЛИ»– подзадач множества. Порядок, в котором решаются «И»– и «ИЛИ»– подзадачи, может существенно влиять на степень трудности решения основной задачи.

Таким образом, методологический анализ структуры проблемы, приведенный в данной главе, показал, что проблема представляет собой определенную систему, включающую в свой состав структуру, системные и структурные элементы. Структура проблемы (ее смысловой сюжет, каркас) как формы отражения проблемной ситуации в сознании субъекта задается категориальной структурой мышления постановщика проблемы. Показано, что следует различать содержательную и логическую структуры проблемы. Содержательная структура проблемы представляет собой связи и отношения между концептами – единствами предметного и смыслового содержания дескриптивных терминов проблемы и детерминируется реальными связями и отношениями между элементами проблемной ситуации, практическими потребностями и категориальной структурой мышления. Сами концепты являются системными элементами проблемы, т. е. элементами проблемы как системы.

Будучи отражением проблемной ситуации, сформулированная проблема представляет собой совокупность предложений, каждое из которых содержит не только дескриптивные (описательные), но и логические (ничего в реальности не описывающие) термины. Последнее и служит основанием для выделения наряду с содержательной и логической структуры проблемы. Логическая структура проблемы не задается структурой проблемной ситуации и является инвариантной к ней. Однако логическая структура проблемы отражает познавательное отношение субъекта к проблемной ситуации, фиксирует направление осмысления ее субъектом, выражает модальности утверждения предположения и вопрошания, осуществляемые посредством логических терминов, и делает проблему формой указания на недостаточность имеющихся знаний и необходимость получения новых.

Практически важным для корректной постановки проблем является представление проблемы как иерархически упорядоченной совокупности вопросов. В силу того, что в структуру проблемы входят вопросы различного типа (вопросы разрешения и вопросы решения) и между ними существуют определенные содержательные связи, корректность постановки проблемы, как было показано, зависит и от последовательности постановки вопросов, входящих в ее структуру.

Трактовка методологии как теории методов рационализации и оптимизации деятельности по постановке проблем нашла свое выражение в использовании представлений о взаимосвязях структур проблем, задач и подзадач для реализации во многих случаях полезного алгоритма сведения задач к подзадачам.

2. Методы решения проблем

Любую проблему можно решить, имея достаточно

времени и денег.

Следствие:

Вам всегда будет не хватать либо времени,

либо денег.

<Вариации закона Лермана>

Подобно тому, как предлагаемые средства анализа проблемных ситуаций и корректной постановки проблем инварианты и их специфическому содержанию, в число предлагаемых методов решения проблем также включены такие, которые, не являясь узкоспециальными, пригодны для анализа и решения проблем широкого спектра.

2.1. Морфологический анализ

2.4. Метод анализа иерархий

Метод был разработан в 70-х годах прошлого столетия американским математиком Т. Саати (Питтсбурский университет)

Сущность, специфика и предназначение метода

Метод анализа иерархий. Метод анализа иерархий (МАИ) состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений ЛПР, по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. Метод включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.