Практические задания (стр. 10 )

Тема «Системы с параллельным соединением элементов»

(см. лекцию 6, 7)

Расчет надежности системы с постоянным резервированием

При постоянном резервировании резервные элементы соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (см. рис. 2.2 из лекции 1).

Задача 5.1. Система состоит из 10 равно надёжных элементов, среднее время безотказной работы элемента =1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы одинаково надёжны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы , а также частоту отказов (плотность распределения) и интенсивность отказов в момент времени t = 50 час для:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а) Рассчитаем показатели надежности нерезервированной (основной) системы.

Интенсивность отказов системы (см. табл. 8.1, лекцию 6)

,

где ‑ интенсивность отказов i-го элемента; n = 10 – количество элементов системы.

В силу равной надёжности элементов системы интенсивность отказов каждого из них равна

Сделав замену , находим интенсивность отказов всей системы из выражения (см. табл. 8.1, лекцию 6) для идентичных элементов

,

откуда среднее время наработки до отказа для всей системы

.

Плотность распределения отказов (см. табл. 4.1, лекцию 3) связана с интенсивностью отказов выражением

,

в котором ‑ константа (параметр распределения), а ‑ вероятность безотказной работы. В таком случае для момента наработки t = 50 можно записать

.

Интенсивность отказов для момента наработки t = 50

.

а) Рассчитаем показатели надежности дублированной системы при постоянно включенном резерве («горячее» резервирование).

Среднее время наработки до отказа для системы (уравнение 8-11, лекция 7)

,

где ‑ интенсивность отказов основной и резервной системы; ‑ количество параллельно включенных систем. После подстановки значений получим

.

Вероятность безотказной работы (уравнение 8-10, лекция 7) равна

.

Плотность распределения отказов системы в соответствии с табл. 4.1 лекции 3 при известной вероятности безотказной работы:

,                                        (П5-1)

а интенсивность отказов

.                        (П5-2)

Для времени наработки t = 50 после подстановки числовых значений в уравнения (П5-1) и (П5-2) получим:

- плотность распределения отказов системы

;

- интенсивность отказов

.

Сравнивая полученные результаты с результатами для нерезервированной системы, необходимо отметить, что показатели системы при одинарном нагруженном резервировании улучшились.

Задача 5.2. Нерезервированная система управления состоит из элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы при час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента в предположении отсутствия последействия отказов.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и одинаковой надежности всех элементов равна

,

где ‑ количество основных и резервных каналов, а ‑ количество элементов в каждом канале; ‑ интенсивность отказов элемента. Это уравнение можно представить в виде

с учетом выражения для вероятности безотказной работы одного элемента .

По условию задачи должно быть выполнено

,

то отсюда, после подстановки числовых значений, можно получить условие, определяющее допустимую вероятность безотказной работы каждого элемента системы

                                               (П5-3)

Разложив выражение в ряд по степени , и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

.                        (П5-4)

Учитывая, что вероятность безотказной работы элемента при экспоненциальном законе распределения наработки до отказа , из уравнений (П5-3) и (П5-4) получаем

или, после сокращения единицы,

.

Задача 5.3.

В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала . Рассчитать вероятность безотказной работы системы при час, среднее время безотказной работы , частоту и интенсивность отказов системы.

Решение.

В соответствии с условием задачи имеем ‑ количество основных и резервных каналов и . Резервирование общее, следовательно, вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и одинаковой надежности всех элементов равна при экспоненциальном распределении времени наработки до отказа

.                        (П5-5)

После подстановки числовых значений получим

.

Среднее время наработки до отказа для системы (уравнение 8-11, лекция 7)

Частота (плотность распределения) отказов с учетом выражения (П5-5)

,