Практические задания (стр. 2 )

Задача 1.4. На рис. П1.2 показана электрическая цепь, ток в которой может прерываться при выходе из строя и элемента , и элемента . Пусть событие ‑ выход из строя элемента , а ‑ выход из строя элемента . Известно, что вероятности событий и соответственно равны: ; . При выходе из строя элемента условия работы элемента становятся более тяжелыми и поэтому . Найти условную вероятность выхода из строя элемента при условии, что элемент неисправен.

Решение.

Из принципа умножения вероятностей (п.5, табл. 1.1) имеем

.

Из равенства (п.4, табл. 1.1) следует, что условную вероятность события при условии наступления события будет

.

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез (представляющих полную группу несовместных событий ), а также вероятностей этих гипотез и представляется как

                                       (1-3)

где ‑ априорные вероятности выполнения гипотезы ; ‑ условная вероятность события А при выполнении гипотезы .

Задача 1.5. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией , 6 – компанией , 8 – компанией и два, которые производит компания . Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение некоторого гарантийного срока без ремонта составляют: 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Нужно найти вероятность, что выбранный наугад, конкретный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока.

Решение.

Обозначим события следующим образом: – выбрано ноутбук i-ой компании, – ноутбук проработает без ремонта. Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем пропорциональными их количеству: на основе этого вероятности примут значения:

.

Вероятности того, что они будут работать весь срок без ремонта, равны (здесь мы просто переводим проценты в вероятность)

;

;

;

.

Применяем формулу полной вероятности:

Вероятность безремонтной работы наугад выбранного ноутбука равна 0,775.

Задача 1.6. Работа электропривода контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени , в течение которого необходимо обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуляторов привод отказывает с вероятностью , при работе только первого из них — с вероятностью , при работе только второго — с вероятностью , при отказе обоих регуляторов — с вероятностью . Первый из регуляторов имеет надежность , второй — . Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Определить полную надежность (вероятность безотказной работы) электропривода с системой управления.

Решение.

Рассмотрим гипотезы:

‑ работают оба регулятора;

‑ работает только первый регулятор (второй вышел из строя);

‑ работает только второй регулятор (первый вышел из строя);

‑ оба регуляторы вышли из строя.

Событие ‑ безотказная работа системы управления.

Вероятности рассмотренных выше гипотез равняются:

; ; ; .

Условные вероятности события при выполнении каждой из этих гипотез заданы (через вероятности отказов!):

; ; ; .

В соответствии с формулой (1-3) получаем

.

Формула Бейеса

Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Другими словами, по формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность, взяв в расчёт как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений. Формула Байеса может быть выведена из основных аксиом теории вероятностей, в частности из условной вероятности. Особенность теоремы Байеса заключается в том, что для её практического применения требуется большое количество расчётов, вычислений, поэтому байесовские оценки стали активно использовать только после революции в компьютерных и сетевых технологиях. Основная запись формулы Байеса:

                                               (1-4)