Практические задания (стр. 6 )

Задача 3.2. Наработка до отказа некоторого устройства описывается законом нормального распределения с параметрами ч. и ч-1.

Определить вероятность безотказной работы , плотность распределения , интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа за период работы час.

Решение.

Для определения значения плотности распределения используем выражение (3-1) с учетом известных величин и (вычисления можно выполнить в MathCad):

.                (П3-1)

Вероятность безотказной работы за этот же период работы можно определить через плотность распределения, используя выражение (см. табл. 4.1, лекция 3)

.                (П3-2)

Значение вероятности безотказной работы при нормальном распределении наработки на отказ можно получить и по упрощенным формулам через значения нормированной функции Лапласа , где ‑ нормированное время, для вычисления которой существуют специальные таблицы (см. таблицу А.1 в Приложении А)

               (П3-2а)

Надо заметить, что в качестве табличного значения здесь взято ближайшее, то есть и учтено, что в силу симметрии .

Интенсивность отказов определяется (см. табл. 4.1, лекция 3) как

ч-1.                (П3-3)

Средняя наработка до отказа при нормальном распределении наработки равна ее математическому ожиданию, то есть

ч.                                                (П3-4)

Усеченное нормальное распределение

Корректность использования классического нормального распределения наработки до отказа, достигается при . При малых значениях средней наработки на отказ и большом среднеквадратичном отклонении , может возникать ситуация, когда плотность распределения «перекрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок, что на практике невозможно.

В этом случае применяют усеченное нормальное распределение, плотность распределения отказов которого связана с классическим нормальным распределением выражением

,                                        (3-2)

где ‑ плотность распределения при классическом нормальном распределении для обычного и нормированного времени соответственно; ‑ нормирующий множитель, определяемый из выражения или с использованием функции Лапласа для соответствующих значений величин .

Задача 3.3. Наработка до отказа системы подчиняется усеченному нормальному распределению с параметрами: часов и час-1.

Определить вероятность безотказной работы , плотность распределения и интенсивность отказов за период работы час.

Решение.

В соответствии с зависимостью (3-2) находим для нормированного времени

,                                                        (П3-5)

где . Значение функции Лапласа находим по таблице А.1 из

Сначала определяем величину плотности распределения для классического нормального распределения (см. задачу 3.2) как

1/час.                (П3-6)

Отсюда, с учетом (П3-5) получаем

1/час.                                        (П3-7)

Для определения вероятности безотказной работы в случае усеченного нормального распределения наработки до отказа на протяжении заданного времени час. используем уравнение (6-25) (см. лекцию 5)

               (П3-8)

Интенсивность отказов определяется (см. табл. 4.1, лекция 3) как

1/час.                                 (П3-9)

Распределение Вейбулла-Гнеденко

Распределение Вейбулла-Гнеденко широко применяется в теории надежности для объектов, плотность вероятности момента отказа которых может быть описана выражением

,                                                (3-3)

где ‑ параметр формы; ‑ параметр масштаба , где ‑ оценка среднего времени наработки до отказа.

Задача 3.4. Определить среднюю наработку до отказа и интенсивность отказов для системы, время безотказной работы которой подчиняется распределению Вейбулла с параметрами: и час-1 на протяжении времени наработки час.

Решение.

Для определения значения средней наработки на отказ используем выражение (6-37) из лекции 5 (вычисление выполняем с использованием MathCad при достаточно большом верхнем пределе интегрирования):

час.                        (П3-10)

Этот расчет можно выполнить и с использованием так называемой гамма-функции, значения которой имеются в готовом виде в специальных таблицах (здесь не приводятся). Тогда

,                                        (П3-10а)

где ‑ гамма-функция, принимающая конкретное значение для нашей задачи .