Практические задания (стр. 1 )

Практическое занятие 1

Тема «Формула полной вероятности и теорема гипотез»

(см. лекцию 2)

Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий Щ, элементами которого служат элементарные события.

Задача 1.1.        На рисунку П1.1 показана электрическая цепь, где через , , обозначены события, заключающиеся в том, что происходит обрыв цепи сопротивления , или соответственно. Выразить через события , , и событие , состоящее в том, что за время работы в цепи между точками и произойдет обрыв.

Решение.

Цепь будет нарушена, если выйдут из строя или сопротивление , или сопротивления и совместно, поэтому событие эквивалентно объединению события с пересечением событий , то есть .

Статистическая вероятность события

Основные определения и формулы.

Отношение числа исходов опыта , при котором произошло событие (например, выпадение «решки»), к числу всех выполненных опытов называется статистической вероятностью (или частотой) события и вычисляется так:

.                                                        (1-1)

Статистическая вероятность события при условии, что произошло событие , называется условной статистической вероятностью события при наличии события и равна отношению числа опытов , при которых произошло событие (событие совместно с событием ), к числу опытов, при котором произошло событие

.                                                (1-2)

Основные свойства статистической вероятности сведены в табл. 1.1

Таблица 1.1 ‑ Свойства статистической вероятности

№ п/п	Наименование свойства	Формула
1.	Не отрицательность статистической вероятности
2.	Статистическая вероятность достоверного события
3.	Статистическая вероятность объединения двух несовместных событий и
4.	Условная статистическая вероятность события при наличии события
5	Принцип умножения вероятностей

Задача 1.2. В урне находиться три синих шара, восемь красных и девять белых. Все шары одного размера и веса. Наудачу из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар синего, красного или белого цвета.

Решение.

Обозначим события, обозначающие появление синего, красного или белого шара, соответственно , и . Всего число равновозможных случаев (число всех шаров). Число случаев, благоприятствующих, выниманию синего шара ‑ , красного шара ‑ и белого шара ‑ , поэтому имеем:

, , .                        (П1-1)

Задача 1.3. В урне находиться 7 белых (б) и 3 черных (ч) шара. Все шары одного размера и веса. Из урны наудачу вынимается один шар, он оказывается белым, после этого шар в урну не возвращают. Определить вероятность того, что вынутый наудачу следующий шар тоже будет белым.

Решение.

Обозначим через событие, состоящее в том, что первый вынутый шар белый, ‑ событие, состоящее в том, что второй шар, вынутый из урны, ‑ белый. По условию задачи требуется найти условную вероятность .

Число равновозможных исходов опыта, благоприятствующих событию , равно девяти: (бб, бб, бб, бб, бб, бб, бч, бч, бч). Из них число исходов, благоприятствующих событиям и вместе, равно , поэтому, в соответствии с выражением (1-2), имеем .

Эту задачу можно решить другим способом. После того как с урны будет вынут белый шар, в урне останется всего девять шаров. Поэтому останется и девять равновозможных исходов опыта, причем шесть из них благоприятствуют появлению белого шара. Таким образом, при наличии события (первый вынутый шар – белый) искомая условная вероятность равна .