Практические задания (стр. 3 )

где ‑ вероятность наступления события при истинности гипотезы A; ‑ априорная вероятность гипотезы A; ‑ вероятность гипотезы A при наступлении события (апостериорная вероятность); ‑ полная вероятность наступления события .

Задача 1.7.

На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго ‑ 60%, третьего ‑ 15%. Известно также, что средний процент бракованных телефонов для первой фабрики составляет 2%, второй ‑ 4%, третьей ‑ 1%. Найти вероятности того, что:

наугад взятый телефон окажется с браком; телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный; на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно?

Решение.

Введем обозначения: ‑ наугад выбранный телефон оказался бракованным; Гипотезы: – телефон изготовлен на первой, – второй и – третьей фабрике соответственно. События попарно несовместимы и образуют полную группу.

Вероятность каждой гипотезы определяем делением процентной доли продукции ко всей (100%), то есть

; ; .

Подобным образом определяем условные вероятности события

; ; .

Применим формулу полной вероятности для определения возможности выбора бракованного телефона

Для отыскания вероятности того, что телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный, применим формулу Байеса

.

Чтобы определить, на каком заводе скорее всего был изготовлен рабочий (не бракованный) телефон необходимо сравнить между собой вероятности предположений , и , где ‑ событие (взяли телефон без брака) противоположное событию . Для противоположных событий используют формулу

.

По подобной формуле определяем условные вероятности события , если только справедливы предположения , , :

По формуле Байеса находим окончательно вероятности предположений

;

;

.

Вывод. Наибольшую вероятность имеет второе предположение , поэтому телефон, скорее всего, был изготовлен на втором заводе.

Задача 1.8. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества: в целом около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его вероятность безотказной работы за время t равна 0.95; если из деталей обыкновенного качества ‑ вероятность безотказной работы этого прибора за время t равна 0.7. Прибор испытывался в течение времени t и он работал безотказно. Найти вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей.

Решение.

Возможны две гипотезы: ‑ прибор собран из высококачественных деталей; ‑ прибор собран из деталей обычного качества. Вероятность этих гипотез априори (до опыта)

;        .

В результате опыта наблюдаемое событие ‑ прибор работал безотказно в течении времени t. Условные вероятности этого события при гипотезах и равняются

;        .

Используя формулу (1-4), находим вероятность гипотезы апостериори (после опыта):

.

Практическое занятие 2

Тема «Показатели безотказности работы объектов»

(см. лекции 3, 4)

Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы на заданном временном интервале, это есть вероятность того, что наработка Т до первого отказа больше некоторой заданной величины

                                       (2-1)

Статистическая оценка вероятности безотказной работы

,                                (2-2)

где ‑ общее количество объектов; ‑ количество объектов, которые безотказно работали до момента наработки ; ‑ количество объектов, отказавших к моменту времени ; ‑ оценка вероятности отказа.

Вероятность безотказной работы системы в случае последовательного соединения n элементов равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов :

.                                                        (2-3)

Вероятность безотказной работы системы в случае параллельного соединения двух элементов с вероятностями безотказной работы и соответственно, равна

                                       (2-4)