Практические задания (стр. 11 )

а интенсивность отказов

.

Резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом

Резервированная система состоит из n отдельных систем (рис. 8.1 лекции 7). Для ее нормальной работы необходимо, чтобы исправными были не менее чем m систем. Кратность резервирования такой системы равна . Предполагается, что основные и все резервные системы равно надёжны. Вероятность безотказной работы резервированной системы

,                                (5-1)

где ‑ биноминальный коэффициент; ‑ вероятность безотказной работы основной системы или любой резервной системы.

Если для любой отдельно взятой системы справедлив экспоненциальный закон плотности распределения наработок до отказа, т. е. , где ‑ интенсивность отказов, то среднее время безотказной работы системы

.                                        (5-2)

Задача 5.4. Система электроснабжения некоторого блока состоит из четырех генераторов, номинальная мощность каждого из которых 18 квт. Безаварийная работа блока еще возможна, если система электроснабжения может обеспечивать потребителя мощностью 30 квт. Необходимо определить вероятность безотказной работы , плотность распределения отказов , интенсивность отказов системы энергоснабжения в течение времени час и среднее время безотказной работы , если интенсивность отказов каждого из генераторов (при условии, что справедлив экспоненциальный закон плотности распределения наработок до отказа).

Решение.

Мощности двух генераторов достаточно для питания блока, так как их суммарная мощность составляет 36 квт. Это означает, что отказ системы электроснабжения еще не наступит, если откажут один или два любых генератора, т. е. имеет место случай резервирования с дробной кратностью при общем числе устройств, равном . На основании выражения для биноминального коэффициента и формулы (5-1) имеем

Учитывая, что биноминальные коэффициенты после подстановки дают

то в результате подстановки имеем

.

Так как справедлив экспоненциальный закон плотности распределения наработок до отказа , то

.                                        (П5-5)

Для решаемой задачи . Тогда

.

Среднее время безотказной работы на основании формулы (5-2) будет

.

Определяем плотность распределения отказов . Для этого используем соотношение (см. табл. 4.1 лекции 3) и значение вероятности безотказной работы до отказа (П5-5). Получим

.

Интенсивность отказов (см. табл. 4.1 лекции 3):

.

Задача 5.5. Для повышения точности измерения некоторой величины применена схема группирования приборов из пяти по три, т. е. результат измерения считается верным по показанию среднего (третьего) прибора. Требуется найти вероятность безотказной работы , плотность распределения отказов , интенсивность отказов , а также среднее время безотказной работы такой системы, если интенсивность отказов (при экспоненциальном распределении) каждого прибора .

Решение.

В данном случае измерительная система отказывает в том случае, если откажут три и более прибора из пяти, т. е. имеет место общее резервирование дробной кратности, когда общее число приборов n=5, число приборов, необходимых для нормальной работы, m=3, а кратность резервирования .

На основании выражения для биноминального коэффициента и формулы (5-1) имеем

Так как биноминальные коэффициенты равны

то

С учетом справедливости экспоненциального закона плотности распределения

.                                        (П5-6)

Среднее время безотказной работы на основании формулы (5-2)

.

Определяем плотность распределения отказов . Для этого используем соотношение (см. табл. 4.1 лекции 3) и полученное выражение для вероятности безотказной работы до отказа (П5-6). В результате получим

.

Интенсивность отказов (см. табл. 4.1 лекции 3):

.

Практическое занятие 6

Тема «Системы со сложным соединением элементов»

(см. лекцию 7)

Расчет надежности систем с мостовыми схемами

Для расчета показателей надежности мостовых схем можно воспользоваться целым рядом предложенных в литературе методов:

метод прямого перебора, состоящий в последовательном переборе всех возможных ситуаций с отказами элементов системы; метод минимального пути, состоящий в составлении логической схемы на основе алгебры логики и определении наборов элементов, которые обеспечивают ее работоспособность, а отказ любого ведет к отказу системы; метод минимального сечения, также состоящий в составлении логической схемы на основе алгебры логики и определении наборов элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, а восстановление работоспособности любого из них – к восстановлению работоспособности всей системы; метод разложения относительно особого элемента, использующий теорему о сумме вероятностей несовместных событий.

В качестве примера рассмотрим определение вероятности безотказной работы мостовой схемы (см. рис. 6.1) методом разложения относительно особого (базового) элемента.

Воспользовавшись теоремой о сумме вероятностей независимых событий, вероятность безотказной работы системы определяется как

,                        (6.1-1)

где ‑ вероятность безотказной работы и вероятность отказа -го особого (базового) элемента; ‑ вероятности работоспособного состояния системы при условии, что -й элемент абсолютно надежный и что -й элемент отказал, соответственно.