Практические задания (стр. 12 )

Для примера, показанного на рис. 6.1 целесообразно в качестве особого элемента выбрать элемент 3 и в результате рассмотреть два варианта работы системы (два несовместных события):

когда элемент 3 работоспособный и тогда на схеме его можно заменить «перемычкой» (см. рис. 6.2а); когда элемент 3 отказал и тогда на схеме его можно исключить (см. рис. 6.2б).

Для преобразованных таким образом схем можно записать:

;                                (6.1-2)

.                                        (6.1-3)

Тогда, используя формулу (6.1-1) и учитывая, что , получаем

.                (6.1-4)

Легко убедиться, что при условии равной надежности всех элементов схемы, выражение (6.1-4) можно получить, используя метод прямого перебора (см. п.8.3 лекции 7).

Этим же методом можно воспользоваться и при разложении относительно нескольких «особых» элементов.

Расчет надежности комбинированных систем

Комбинированные системы включают в себя элементы, соединенные между собой различными способами: последовательно, параллельно, по схеме «m из n», а также могут образовывать мостовые соединения. Для расчета надежности подобной системы необходимо использовать метод структурной декомпозиции, идея которого продемонстрирована в ниже приведенном примере

Задача 6.1. Структурная схема надежности некоторой сложной системы представлена на рис. 6.3.

Значения интенсивностей отказов элементов приводятся в размерности 10-6 1/час.

Выполнить структурную декомпозицию схемы, заменяя участки схемы соответствующими квази-элементами. Рассчитать значения вероятностей безотказной работы элементов, квази-элементов и всей схемы для определенных значений наработки t при условии, что поток отказов подчиняется экспоненциальному закону распределения плотности. Все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации. Результаты расчета оформить в виде таблицы.

Решение.

В исходной схеме элементы 2 и 3 создают параллельное соединение. Заменяем их квази-элементом А. Учитывая, что , получаем

.

Элементы 4 и 5 также соединены параллельно, поэтому, заменив и квази-элементов В и учитывая, что , получаем аналогично

.

Элементы 6 и 7 соединены последовательно. Заменяем их квази-элементом С, для которого при условии , получаем

.

Элементы 8 и 9 создают параллельное соединение. Заменяем их квази-элементом D, для которого при условии , получаем

.

Элементы 10 и 11 с параллельным соединением замещаем квази-элементом E, при этом, поскольку , то

Элементы 12, 13, 14 и 15 создают соединение «2 из 4», которое меняем на квази-элемент F. Поскольку , то для определения вероятности безотказной работы квази-элемента F воспользуемся комбинаторным способом:

В результате подобных замен получим структурную схему, показанную на рис. 6.4.

Элементы A, B, C, D и E в соответствии с рис. 6.4 мостовую схему, которую можно заменить квази-элементом G, для расчета вероятности безотказной работы которого воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент C. Тогда

,

где ‑ вероятности безотказной работы мостовой схемы при абсолютно надежном элементе C (рис. 6.2а) и при отказавшем элементе C (рис. 6.2б).

С учетом того, что и , а также используя выражение (6.1-4) из предыдущего примера, запишем

После преобразований промежуточная схема (рис. 6.4) приобретает вид схемы, представленной на рис. 6.5. В преобразованной схеме (рис. 6.5) элементы 1, G и F формируют последовательное соединение. С учетом этого вероятность безотказной работы всей системы

.

Поскольку по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы всех задействованных элементов (рис. 6.3) подчинена экспоненциальному закону, то есть

где ‑ интенсивности отказов элементов системы в соответствии с таблицей на рис. 6.3.

Подставляем значения интенсивностей отказов элементов 1-15 в полученные выше выражения. В итоге получаем вероятности безотказной работы элементов исходной схемы (рис. 6.3), квази-элементов A, B, C, D, E, F и G и всей системы P, результаты расчетов которых представлены в таблице 6.1 для различного времени наработки до отказа.

Таблица 6.1 – Результаты расчетов к задаче 6.1

Элемент	, час-1	Наработка до отказа t*106, час
0.5	1.0	1.5	2.0	2.5
1	0,001	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975
2-5	0,1	0,9512	0,9048	0,8607	0,8187	0,7788
6,7	0,01	0,9990	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753
8-11	0,2	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065
12-15	0,2	0,7788	0,6065	04724	0,3679	0,2865
A, B	‑	0,9976	0,9909	0,9806	0,9671	0,9511
C	‑	0,9900	0,9801	0,9704	0,9608	0,9512
D, E	‑	0,9909	0,9671	0,9328	0,8913	0,8452
F	‑	0,9639	0,8282	0,6450	0,4687	0,3245
G	‑	0,9924	0,9888	0,9863	0,9820	0,9732
P	‑	0,9561	0,8181	0,6352	0,4593	0,3150

Преобразование логических схем надежности с соединениями типа «звезда» и «треугольник»

Возникающие в процессе декомпозиции логических схем соединения типа «звезда» и «треугольник» часто создают серьезные препятствия, затрудняющие расчеты надежности. Вместе с тем существует простой метод эквивалентной замены соединений типа «звезда» на соединение типа «треугольник» и наоборот. В таком случае часто удается существенно упростить исходную схему и в дальнейшем применить к ней известные методы структурной декомпозиции.

Задача 6.2. Пусть вероятность безотказной работы элементов, соединенных в «треугольник» (рис. 6.6), составляют: ; и . Определить параметры надежности эквивалентного соединения в виде «звезды».

Решение.

Для получения параметров надежности эквивалентного исходному соединению типа «треугольник» соединению типа «звезда» воспользуемся готовыми соотношениями (8-21а, 8-22а, 8-23а и 8-24) для определения величин , представленными в лекции 7 (п.8.7):