Практические задания (стр. 5 )

и вероятности безотказной работы

;

;

;

;

.

Используя формулу (2-5) находим плотность распределения отказов для моментов наработки

а также соответствующие значения интенсивностей отказов (см. (2-6))

;

;

;

;

.

По полученным результатам расчетов строим графики зависимости показателей безотказности , , , (см. рис. П2.2). Кусочно линейные графики могут эквивалентно быть представленными соответствующими гистограммами (рис. П2.3).

Задача 2.6. На испытание поставлено элементов. За время наработки часов отказало элементов, а в промежутке времени часов отказало еще элементов (рис. П2.4). Определить статистические оценки основных показателей надежности этой партии элементов за 3000 часов и во временном промежутке 3000-4000 часов.

Решение.

В соответствии с формулой (2-2) определяем оценки вероятности безотказной работы партии элементов и вероятность отказа за время наработки

;

;

Количество элементов, которые отказали за время часов (середина интервала) . Поэтому вероятность безотказной работы за время составит

.

В соответствии с формулой (2-5) плотности распределения вероятностей при и равны соответственно:

В соответствии с формулой (2-6) интенсивности отказов при и равны соответственно:

;

.

Практическое занятие 3

Тема «Законы распределения наработки до отказа и показатели надежности»

(см. лекции 3, 5)

Взаимосвязи основных показателей, определяющих надежность объекта, при известном законе распределения плотности наработки до отказа представлены в табл. 4.1 (см. лекцию 3).

Нормальное распределение (Гаусса)

Если наработка до отказа подчинена нормальному распределению, то плотность распределения отказов описывается выражением

,                                                (3-1)

где и ‑ параметры распределения: математическое ожидание (среднее значение наработки до отказа) и среднеквадратичное отклонение (степень рассеивания случайной величины наработки на отказ вокруг среднего значения ).

Правило «трех сигм» ‑ определяет, что при нормальном распределении плотности случайной величины вероятность попадания величины наработки до отказа в интервал близка к 99%.

Задача 3.1. Электрическая схема собрана из трех последовательно включенных типовых резисторов , и (в % задано значение отклонения сопротивлений от номинального). Требуется определить суммарное сопротивление схемы с учетом отклонений параметров резисторов.

Решение.

Известно, что при массовом производстве однотипных элементов плотность распределения их параметров подчиняется нормальному закону. Используя правило («трех сигм»), определим на основании исходных данных диапазоны сопротивлений, в пределах которых находятся возможные их значения с вероятностью близкой к единице. Получим

; ; .

Следовательно,

; ; .

Когда значения параметров элементов имеют нормальное распределение, и элементы при создании схемы выбираются случайным образом, результирующее значение является функциональной переменной, распределенной так же по нормальному закону. Причем дисперсия результирующего значения (в нашем случае ) определяется как сумма

.

Поскольку результирующее значение распределено по нормальному закону, то, воспользовавшись правилом , запишем

,

где ‑ номинальные паспортные параметры резисторов.

.

Таким образом,

или .

Данный пример показывает, что при увеличении количества последовательно соединенных элементов результирующая погрешность уменьшается. В частности, если суммарная погрешность всех отдельных элементов равна ±600 Ом, то суммарная результирующая погрешность равна ±374 Ом. В более сложных схемах, например в колебательных контурах, состоящих из индуктивностей и емкостей, отклонение индуктивности или емкости от заданных параметров сопряжено с изменением резонансной частоты, и возможный диапазон ее изменения можно рассчитать методом, аналогичным с указанным выше.