Практические задания (стр. 17 )

Обозначим вероятности указанных состояний в произвольный момент времени через , и . Эти вероятности при имеют пределы , и соответственно.

Так как для рассматриваемого ЭА переход из состояния 0 в состояние 1 не нарушает его работоспособности, коэффициент его готовности

.

С учетом ненагруженного резерва и неограниченного восстановления (см. рис. 8.3) составляем схему состояний системы (см. рис. 8.5) и на ее основании соответствующую ей систему дифференциальных уравнений, используя указанные выше рекомендации:

;

;

.

Для определения установившихся значений вероятностей состояний и положим все производные равными нулю. Учитывая, что для любого момента времени (а значит и для времени ) справедливо , получаем систему алгебраических уравнений:

;

;

.

Для получения значений , и можно использовать правило Крамера

,

где ‑ определитель, элементами которого являются коэффициенты при , и ; ‑ определитель, который образуется из путем замены -го столбца коэффициентами правой части решаемой системы уравнений. Определяем , и . Получим

;  ;  .

Определяем , и . Получаем

;  .

Эта задача (как линейная система уравнений) достаточно просто решается с использованием математического пакета MathCad (см. пример решения на рис. 8.6, в котором используется встроенная функция lsolve). Следует отметить, что символьное решение не совпадает по внешнему виду с решением, полученным вручную.

Если исходные данные (матрицы А и В) заданы числовыми данными, для решения можно использовать и блок Given – Find.

Обозначив получаем в результате

;        .

Откуда коэффициент готовности

,

который при (по условию ) приобретает значение .

Задача 8.2. Радиостанция включает в себя приемный и передающий блоки, интенсивности отказов которых одинаковы и равны час-1. Интенсивность восстановления час-1. Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособности любого из блоков радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок не выключается, и в нем могут происходить отказы.

Вычислить коэффициенты готовности и простоя радиостанции. Предполагается экспоненциальное распределение времени безотказной работы и времени восстановления.

Решение.

Радиостанция в любой момент времени может находиться в одном из трех состояний:

0 ‑ оба блока работоспособны;

1 ‑ один блок работоспособен;

2 ‑ оба блока неработоспособны.

Радиостанция работоспособна только в состоянии 0 и неработоспособна в состояниях 1 и 2. Схема состояний, учитывающая наличие нагруженного резерва и ограниченных возможностей восстановления (см. рис. 8.4а) с соответствующими интенсивностями переходов представлена на рис. 8.7. Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:

;

;

.

При производные , поэтому переходим к алгебраическим уравнениям:

;

;

.