Практические задания (стр. 9 )

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях , близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:

                                       (4.2-6)

где ‑ вероятность отказа i-го элемента.

Задача 4.3. Система состоит из трех разнородных устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна 1/час ‑ const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются формулами

1/час, 1/час.

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.

Решение. На основании первого варианта формулы (4.2-3) имеем

Для часов после подстановки получаем

.

Задача 4.4. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно: час; час; час.

Для блоков справедлив экспоненциальный закон плотности распределения отказов. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

Решение.

Воспользовавшись формулой для математического ожидания наработки до отказа при экспоненциальном законе (см. формулу 5 из табл. 4.1 Приложения А), находим:

;  ;  ,

где ‑ интенсивности отказов i-го блока. Интенсивность отказов всей системы (см. там-же)

1/час.

Среднее время безотказной работы (математическое ожидание наработки на отказ) для системы в целом

час.

Задача 4.5. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы системы , вероятность отказа системы , плотность вероятности времени безотказной работы системы в течение времени час, а также среднее время безотказной работы системы .

Решение.

Интенсивность отказов системы при идентичных в среднем параметрах надежности элементов определяется как (см. табл. 4.1 Приложения А)

1/час.

Вероятность безотказной работы

.

Вероятность отказа системы в течение наработки час.

.

Плотность вероятности времени безотказной работы системы (или частота отказов)

1/час.

Среднее время безотказной работы системы до отказа

час.

Задача 4.6. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени час равны: ; . Справедлив экспоненциальный закон плотности распределения наработки до отказа. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы.

Решение.

Найдем вероятность безотказной работы системы в соответствии (4.2-1):

.

Найдем интенсивность отказов системы, воспользовавшись формулой для определения вероятности безотказной работы (см. формулу 1 из табл. 4.1 Приложения А) . После подстановки

,

откуда и окончательно интенсивность отказов системы

1/час.

Теперь находим среднее время безотказной работы системы

час.

Задача 4.7. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна . Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из таких же элементов.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы равна . Вероятность близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся формулой приближенных расчетов (4.2-6). В нашем случае . Тогда

.

Задача 4.8. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна . Система состоит из одинаково надежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы каждого элемента.

Решение.

Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет . Так как близка к единице, то вычисления удобно выполнить с использованием формулы приближенных расчетов (4.2-6). В нашем случае . Тогда

.

Таблица 4.1 ‑ Показатели безотказности системы при последовательном соединении элементов и экспоненциальном законе распределения наработки до отказа

№ форм.	Неидентичные элементы	Идентичные элементы
Вероятность безотказной работы
1.
Вероятность отказов
2.
Интенсивность отказов
3.
Плотность распределения отказов
4.
Математическое ожидание наработки до отказа
5.

Практическое занятие 5