Трение в динамических задачах теоретической механики (стр. 10 )

То есть проекция диаграммного аналога каждой силы на ось равна отношению момента самой силы относительно центра колеса к произведению нормальной реакции на радиус колеса. Проекция на ось – отношению проекции самой силы на поверхность опоры к нормальной реакции.

       Рис. 18. Силовая диаграмма

ВДН следует строить так, чтобы его начало совпадало с началом системы координат СД (рис. 18). Конец этого вектора будем обозначать буквой и называть точкой нагружения колеса (ТН). По положению ТН можно судить о характере нагружения колеса. Например, если ТН лежит на оси , это означает, что к оси колеса приложен только крутящий момент , направленный по часовой стрелке (рис. 7, а). Если ТН находится (рис. 18) в точке , то к оси колеса приложена сила , направленная влево, и момент , вращающий колесо против часовой стрелки (рис. 7, а).

ВДН , как и ТН на СД, может занимать любое положение. Условия нагружения колеса ничем не ограничивают этого положения.

Область равновесия

       Рис. 19. Область равновесия

Величина и положение ВДР на СД строго ограничены законами трения (17/). Неравенства (17/) при использовании (6), будучи выражены через проекции (19), ограничивают положение ВДР на СД (рис. 19) и имеют вид:

       , , .        (20)

Геометрическая интерпретация ограничений (20) означает, что ВДР не может выходить за пределы шестиугольника, симметрично расположенного относительно центра системы координат (рис. 19). Этот шестиугольник далее будем называть областью равновесия.

Все построения на СД производятся при (18/) и в предположении:

       , где .        (20/)

Уравнения прямых линий, проходящих по сторонам этого шестиугольника (рис. 18), нетрудно получить из (20):

       , , .

Стороны шестиугольника пересекают (рис. 19) оси СД в точках с координатами: (0, ±) и (±, 0).

Вершины области равновесия имеют в обозначениях (18/) координаты:

       , , .        (21)

Свойства ВДР

1 Положение ВДР на СД ограничено областью равновесия. При равновесии колеса ВДР равен и противоположно направлен ВДН (рис. 19). Из уравнений равновесия следует: , .

При построении ВДР его конец совмещается (рис. 19) с началом СД, то есть проекции ВДР равны координатам его начала с обратным знаком.

2 Если колесо находится в СРД, начало ВДР совпадает (рис. 19) с соответствующими вершинами области равновесия, как следует из (17-19) и табл. 1. Вершины шестиугольника обозначены буквами, соответствующими названиям СРД колеса. Стрелочки над буквами показывают направление движения.

Проекции ВДР равны координатам (21) соответствующих вершин области равновесия, взятых с обратным знаком. Эти координаты определяют параметры силы реакции (табл. 1) при СРД колеса.

Например, при движении колеса в режиме торможения вправо начало ВДР попадают в точку . Значит, проекции ВДР равны: , . Тогда из выражений (19) определяем параметры силы реакции (рис. 7) в этом СРД, которые соответственно совпадают с выражениями из таблицы 1:

       , .

3 Если колесо находится в ОРД, начало ВДР находится на соответствующей стороне шестиугольника (рис. 19).

Если колесо по поверхности опоры движется в ОРД, то лишь одно из неравенств (17/) превращается в равенство (17), которое, будучи выражено через проекции (19), при соответствующем ОРД имеет вид:

       : , : , : .        (22)

При ОРД для полного определения параметров (6) силы реакции требуются ещё уравнения движения колеса (11) и уравнения кинематических связей (15), налагаемых на кинематические характеристики колеса в ОРД.

Условия существования ОРД

Как было отмечено ранее, ограничения (17/) для параметров сцепления (табл. 2) по сути являются ограничениями для параметров нагружения колеса, при которых колесо может двигаться в том, или ином ОРД.

При определении этих ограничений воспользуемся уравнениями движения колеса (11). Разделим первое из этих уравнений на , а последнее на , приводя их к виду:

       , .

Из полученных выражений, учитывая, что и , а также введенные ранее обозначения (14) и (19), следует, что

       , .        (23)

Таким образом, проекции ВДУ на оси КД равны сумме проекций ВДН и ВДР на оси СД. Следовательно, при плоскопараллельном движении колеса по поверхности негладкой опоры в любом режиме ВДУ равен сумме ВДН и ВДР.

       .        (23/)

Полученный результат позволяет, зная ВДН и ВДР, строить ВДУ на СД. При построении ВДУ на СД следует совмещать его конец с концом вектора ВДН . Начало ВДУ следует совмещать с началом ВДР . Конец ВДР , как следует из (23/), будет попадать в начало СД (рис. 19).