Трение в динамических задачах теоретической механики (стр. 15 )

       : , ;

       : , ;        (29)

       : , .

Окончательное решение можно получить, если в (29) подставить (27).

Пример 2. Скольжение свободного колеса

Пусть движение колеса происходит под действием только вертикальной силы (рис. 7. а), приложенной к её оси. При таком нагружении колесо будем называть свободным. Здесь ТН на ДД совпадает (рис. 22) с началом .

При таком нагружении в уравнениях (29) следует положить: ==0.

Определим характер движения свободного колеса, движущегося вправо в режиме скольжения, при различных начальных условиях его движения.

       Рис. 26. Скольжение свободного колеса

При свободном нагружении колеса из всех ОРД возможен лишь режим качения без проскальзывания в обе стороны, так как через начало координат проходят полосы только этих режимов. В этом нетрудно убедиться, подставив в (24) НУН для ОРД условия свободного нагружения колеса.

Свободно нагруженное колесо может при выполнении условия (27) двигаться замедленно только в режиме скольжения. В остальных СРД характер движения колеса является переходным. В этом нетрудно убедиться, подставив в НУН для замедленного СРД (табл. 7) условия свободного нагружения колеса.

На рисунке 26 построены ВДУ колеса при свободном нагружении для случаев его скольжения вправо , торможения вправо и разгона влево . Для этого вершины , и области равновесия соединены с ТН. Кроме того, построены ВДУ колеса для случаев его качения вправо и влево. Для этого стороны и соединены с ТН векторами, параллельными полосе .

Проекции этих векторов определяются (табл. 9) из решения (29), (26):

Таблица 9

Ускорение колеса в примере 2

РД

В зависимости от начальных условий скольжения колеса вправо возможны три варианта его дальнейшего движения.

1-й вариант – замедленное скольжение до остановки.

ТД , перемещаясь по прямой линии, проходящей по вектору , попадает в область равновесия (рис. 26). Колесо, находясь в режиме скольжения вправо, движется замедленно до остановки. Это возможно, если начальные условия удовлетворяют условию (28), а именно:

        или .

2-й вариант – переход в режим торможения вправо и замедленного качения вправо до остановки.

ТД , перемещаясь по прямой линии, параллельной вектору , касается снизу полуполосы ОРД колеса юзом вправо (рис. 26). В этот момент колесо, находясь в режиме скольжения вправо, перестаёт вращаться против часовой стрелки.

Так как движение свободного колеса в режиме юзом вправо невозможно (24), то ТД оказывается в тот же момент по другую сторону полуполосы , попадая в область режима торможения вправо. Здесь она перемещается до полуполосы по прямой линии, параллельной вектору . Это соответствует тому, что угловая скорость колеса по часовой стрелке возрастает от нуля до значения, соответствующего качению колеса без проскальзывания. При этом скорость движения оси колеса вправо одновременно уменьшается.

Попадая в полуполосу , ТД превращается в отрезок, который, перемещаясь по полуполосе , оказывается в области равновесия. Это соответствует замедленному качению колеса вправо до остановки.

Такой случай движения колеса происходит, если: .

3-й вариант – переход в режим разгона влево и замедленного качения влево до остановки.

ТД , перемещаясь по прямой линии, параллельной вектору , касается справа полуполосы движения колеса в особом режиме буксования против часовой стрелки (рис. 26). В этот момент колесо, находясь в режиме скольжения вправо, останавливается.

Так как движение свободного колеса в режиме буксования против часовой стрелки невозможно (24), то ТД оказывается в тот же момент по другую сторону полуполосы , попадая в область режима разгона влево. Здесь она перемещается до полуполосы по прямой линии, параллельной вектору . Это соответствует тому, что скорость оси колеса влево возрастает от нуля до значения, соответствующего качению колеса без проскальзывания. При этом угловая скорость колеса против часовой стрелки одновременно уменьшается.

Попадая в полуполосу , ТД превращается в отрезок, который, перемещаясь по полуполосе , оказывается в области равновесия. Это соответствует замедленному качению колеса влево до остановки.

Такой случай движения колеса происходит, если:.

Классификация условий нагружения колеса

При перенагружении колеса может происходить многократное изменение режимов его движения. Положение ТН колеса на ДД определяет режим движения колеса, в котором оно должно оказаться в конечном результате. Если ТН не лежит на границах, разделяющих ДД на области различных режимов движения, то положение ТН однозначно указывает конечный режим движения колеса. В противном случае конечный режим движения колеса зависит не только от условия нагружения, но и от начальных условий движения колеса. Приведем полную классификацию условий нагружения колеса.