Основы теории управления (стр. 11 )

Здесь приняты следующие обозначения: al(x), - соответственно коэффициенты полиномов A(x, s) и ; bl(x), - соответственно коэффициенты полиномов B(x, s) и . Функция F(x) – алгебраическая. Для нахождения ее минимума на множестве X, заданном ограничениями вида: φl(х) = 0, (l=), воспользуемся подходом основанным на введении неопределенных множителей Лагранжа [2], что предполагает решение системы уравнений вида:

Ф(x,α) = F(x)+

(3.12)

где k - размерность вектора . Первые уравнения вытекают из приравнивания к нулю производных функции Ф(x, α)  по переменным вектора α. Минимум функций F(x) и Ф(x, α)  будет достигнут в точке x = xопт, найденной из решения (3.13), если в этой точке будет выполнено условие положительности квадратичной формы ( условие Вейерштрасса):

(3.13)

где xi, xj - малые приращения компонент вектора х. Следовательно, чтобы x = xопт была точкой, в которой целевая функция принимает минимальное значение, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия (3.12) и (3.13). Для решения (3.12) используются известные методы, в частности, численный метод решения системы нелинейных алгебраических уравнений Ньютона - Рафсона. Отметим, что любые неравенства, накладываемые на неизвестные параматры вектора х, можно привести к равенствам, вводя дополнительные неизвестные. Например, пусть имеем ограничение вида:  х<5, которое можно переписать в виде: х=5 - х, где х дополнительно вводимый параметр, подлежащий определению наравне с остальными параметрами вектора х. 

  Рассмотрим применение методики параметрической оптимизации на конкретной задаче.

Проектирование САР с ПИД - регулятором в контуре управления.

Пусть задана схема управления в виде:

В схеме известен вид передаточных функций звеньев:

Wp = kp; W i= ki /s; Wd = kd s; Wор (s) = k / (s + a).

Нужно найти значения вектора параметров x = (kp, ki, kd), при которых корни si характеристического уравнения замкнутой системы будут принадлежать области качества Ω, определяемой параметрами η = 2, μ 1. Решение будем строить по шагам:

Найдем передаточную функцию разомкнутой системы управления:

  Wраз. (x, s) = (kp + ki/s + kds) k /(s + a) = k(skp + ki + kds2)/(s(s +a)).

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

  .

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

  .

  4. Зададим эталоное расположение корней характеристического уравнения 

  и по ним составим  характеристическое уравнение:

  , = s2 + 5s + 6 = 0.

Cоставим целевую функцию F(x) на основе минимизации невязок коэффициентов двух характеристических уравнений:

.

Отметим, что поскольку на параметры вектора х не наложены ограничения, то имеем дело с задачей безусловной оптимизации. Для достижения минимума положительной квадратичной функции F(x) достаточно, чтобы нулю равнялись все три слагаемые, а именно:

   

Если мы используем необходимое и достаточное условие минимальности F(x), то получаем следующую систему уравнений:

Поскольку оптимизируемая функция является положительной квадратичной, она имеет один экстремум – минимум и, следовательно, нет необходимости проверять условие Вейерштрасса, то есть положительность квадратичной формы.

Рассмотрим алгоритм параметрической оптимизации для многомерной САУ. Его применение предполагает выполнение следующих этапов:

Задание схемы САУ, передаточных функций звеньев, вектора оптимизируемых параметров х, ограничений φ(x), начального значения

  х = х0.

Выполнение декомпозиции схемы на каналы вход -  выход. Нахождение матрицы W(x, s). Анализ качества системы управления по расположению нулей и полюсов матрицы W(x, s) при х = х0. Если качество удовлетворительно, то нужно перейти к п.9. Задание эталоной системы управления в виде . Формирование целевых функций Ф(x,α), F(x). Решение задачи оптимизации для Ф(x,α) → min  или  F(x) → min. Вывод результатов в виде значений вектора х. Конец алгоритма.

При автоматизации производственных процессов возникает задача выбора типового регулятора и определение его параметров, обеспечивающих заданное качество управления объектом. При этом обычными приемами синтеза регулятора являются:  выбор закона регулирования в виде уравнений динамики регулятора;  определение передаточной функции САР; исследование САР на устойчивость;  определение параметров настройки регулятора в соответствии с требованиями, налагаемыми на качество управления. Если не удается настроить параметры регулятора должным образом, то проектирование продолжается в направлении усложнения регулятора. Под сложностью регулятора понимают порядок его уравнений. Обычно сложность регулятора не превышает сложности объекта регулирования.

Синтез адаптивных систем управления

4.1.Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем

Рассмотрим две схемы адаптивного управления:

- схема 1 - “ЭВМ + РГ + ОУ”:

- схема 2 -  “ЭВМ + ОУ ” :

Введем в рассмотрение вектора:

p - вектор параметров ОУ; х - вектор перенастраиваемых параметров регулятора; V - вектор управляющих воздействий на регулятор; U - вектор управляющих воздействий на ОУ; g - вектор задающих воздействий; f - вектор возмущающих воздействий.

  Считаем значения векторов p, g, f нестационарными. В качестве самонастраивающейся системы управления будем рассматривать такую, которая вырабатывает управляющее воздействие на нестационарный объект при нестационарности задающих и возмущающих воздействий, обеспечивая цель и качество управления.

Задача синтеза самонастраивающейся системы управления с ЭВМ и регулятором в контуре управления может быть сформулированна следующим образом. Для заданного объекта управления передаточной матрицей WОУ(p, s), отдельные или все коэффициенты которой являются переменными, необходимо определить структуру системы управления и закон x (tm) = x (p, r, f, tm) изменения вектора настраиваемых параметров регулятора в зависимости от изменения во времени p, r, f, кроме того, требуется сформировать закон

который будет обеспечивать требуемые показатели качества  функционирования системы во времени.

Задача синтеза системы управления с ЭВМ в контуре управления, на которую возлагаются все функции управления, может быть сформулированна следующим образом. Для заданного объекта управления матрицей WОУ(p, s) необходимо определить закон

.

выработки управляющих воздействий на объект управления, который при вариации во времени p, g, f  будет обеспечивать требуемые показатели качества управления объектом во времени.

Процедура синтеза закона управления

Пусть структура системы управления уже выбрана или известна. В зависимости от типа синтезируемой системы управления с автоматическим регулятором или без него в контуре управления нужно различать и задачи синтеза управлений. Рассмотрим процедуру синтеза вектора V. Для того чтобы воспользоваться рассмотренными ранее положениями нужно перейти от математической модели непрерывной системы управления к модели непрерывно дискретной, квазистационарной, то есть такой модели, которая в дискретно малые интервалы времениt может быть представлена системой уравнений вида: