Основы теории управления (стр. 7 )

амплитудно - фазовая характеристика имеет вид:

Отметим, что динамика стационарных линейных систем в плане анализа устойчивости и быстродействия полностью может быть исследована с помощью частотных характеристик. Однако,  применение частотных характеристик для произвольных линейных систем не всегда рационально. Такой выбор  должен быть обоснован.

Методы анализа качества систем управления Понятие устойчивости систем управления

Комплекс требований, определяющих поведение САУ, объединяется понятием качества процесса управления (качества системы управления). Главным требованием, предъявляемым к качеству работы систем управления, является требование устойчивости. Рассмотрим основные положения теории устойчивости.

Если под действием возмущения  система управления отклонилась от состояния равновесия или заданного закона движения, а после прекращения действия  возмущения снова вернулась к исходному состоянию, то такое движение является устойчивым, сходящимся к исходному. Если по окончанию воздействия, как бы мало оно не было, управляемая координата продолжает изменяться, или, если по окончании воздейсвия устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального, зависящее от произведенного воздейсвия, то объект является неустойчивым. Объект, способный после кратковременного внешнего воздействя с течением времени возвратиться к исходному состоянию или близкому к нему является ассимптотически устойчивым.

Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову [1]. Пусть имеем уравнение динамики:

.

Его можно переписать с использованием фазовых координат:

.

, 

- фазовые координаты, характеризующие состояние системы. Их можно трактовать как координаты n – мерного пространства. Такое пространство называется пространством состояний, и его координаты представляют собой производные по времени . Координаты вектора состояния – это абстрактные величины, лишенные физического смысла.  Представленное уравнение в фазовых координатах описывает невозмущенное движение. Полагаем, что фазовые координаты в начальный момент времени  t = to  имеют значения: x1 = φ1 (t0), x2 = φ2 (t0), ... , xn = φn (t0). Решение дифференциального уравнения определяется введенными начальными условиями. Оно может быть записано в виде

xi = φ i [t, φ i (to)] .

Пусть под действием возмущения начальные значения координат изменились и приняли значения:

φ i*(to) = φ i (to) + εi.

Характер процессов, происходящих в системе, будет описываться уравнениями вида:

xi* = φ i*[t, φ i* (to)] .

Последнее уравнение описывает возмущенное движение. Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений возмущенное движение в момент времени t > t0 будет отличаться от невозмущенного движения незначительно. Другими словами, движение, определяемое решением , будет устойчивым по Ляпунову, если для любого  ε > 0  можно подобрать σ (ε) > 0, чтобы при  t > t0  и при 

  | φ i*(to) - φ i (to) | < σ (ε)

выполнялось условие:

| φ i*(t) - φ i (t) | ≤ ε.

Если условие не выполняется, то движение неустойчиво. Движение считается асимптотически устойчивым, если при t → ∞

lim | φ i*(t) - φ i (t) | = 0.

Отметим, что линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, то есть является ее приближенной моделью, вследствие этого  возникает вопрос – правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо. был доказан ряд теорем, отвечающий на поставленный вопрос.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения являются отрицательными, то невозмущенное движение в исходной нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

В тех случаях, когда в характеристическом уравнении есть нулевые или чисто мнимые корни, а все остальные корни имеют отрицательные действительные части, судить об устойчивости движения по уравнению первого приближения нельзя. В таком случае для оценки устойчивости необходимо учитывать отброшенные при линеаризации нелинейные слагаемые.

Другими словами стационарная линейная система управления, поведение которой описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения (полюсы ее передаточной функции) имеют отрицательные вещественные части, то есть лежат в левой полуплоскости комплексной переменной  s.

Характеристическое уравнение системы управления, исследуемой в комплексной области, представляется выражением:

bnsn + bn-1s n-1+ ... + bo = 0.

Если система управления исследуется в области фазовых координат, то характеристическое уравнение рассматривается в виде:

det [ sE - A] = 0,

где A – матрица коэффициентов уравнений в фазовых координатах; E - единичная матрица;  s  -  алгебраическая переменная. 

  В теории автоматического управления пользуются условиями, которые позволяют судить о  расположении корней характеристического уравнения в левой полуплоскости без нахождения их значений. Что весьма  существенно, так как корни уравнений выше четвертой степени не выражаются через коэффициенты посредством алгебраических соотношений и могут быть найдены лишь численно. Такие условия называются критериями устойчивости. Существует несколько критериев устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают единственный вопрос – лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные.

Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств [3]. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

bo sn+ b1 sn-1+ ... + bn = 0.

Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:

При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с b1. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева – в порядке убывания. Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы при bo > 0 все определители Гурвица (определители диагональных миноров матрицы Гурвица)

  1 = b1 > 0;  2 = > 0; ...

были положительными. Остановимся кратко на некоторых общих замечаниях. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты:

1) для расположения всех корней характеристического уравнения слева от 

  мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты bi 

  были одного знака;

2) обращение в нуль определителя i  свидетельствует о появлении пары

  чисто мнимых корней;

3) если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то

  все вещественные корни (если они есть) отрицательны. Комплексные 

  корни при этом могут лежать и в правой полуплоскости;

4) если в последовательности b0, b1, b2,…, bn  имеется одна перемена знака, то

  имеется один корень, лежащий в правой полуплоскости. Если число

  перемен знака равно N > 1, то число таких корней равно N;

5) критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой

  степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать 

  алгоритм Рауса, ориентированный на использование ЭВМ в расчетах. 

  Критерий Рауса состоит в следующем [4]. Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в форме

  .

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

  = 0.