Основы теории управления (стр. 5 )

 

Дифференцирующее инерционное  звено

  Рассмотрим схему 

 

Для этой схемы  законы Кирхгофа для токов и напряжений имеют вид: 

  ,

где у токов и напряжений опущен аргумент (время) с целью обеспечения наглядности  математических выкладок. Далее учитывая, что 

  , 

перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений

  , 

Подставим последнее выражение  в интеграл, получим

 

Продифференцируем левую и правую части уравнения, получим дифференциальное уравнение рассматриваемого звена:

 

  Далее, чтобы получить выражение передаточной функции, умножим левую и правую части уравнения на одинаковый сомножитель Т = RС, применим преобразование Лапласа, перейдем к изображениям, сгруппируем члены нужным образом. Будем иметь

 

  Погрешность замены идеального звена неидеальным звеном,  можно уменьшить, выбрав T достаточно малым,  и вводя большой коэффициент усиления k. Передаточная функция такого звена определится выражением:

  .

Переходная функция звена, то есть реакция звена на входное воздействие

х(t) = 1(t) при начальных условиях х(0) = 0, будет следующей:

 

В момент включения h(0)=k, то есть выходная величина изменяется скачком аналогично изменению входной х(0) = 1.

Идеальное форсирующее звено

  Введение производных в закон регулирования осуществляется обычно с помощью так называемых форсирующих звеньев. Идеальное форсирующее звено осуществляет сложение выходной величины с ее производной и имеет передаточную функцию

 

Апериодическое  звено первого порядка

  Рассмотрим звено с передаточной функцией

  .

В таком звене при  преобладает форсирование (дифференцирование), при - инерционное запаздывание (интегрирование). Поэтому такое звено часто называют интегрирующим. При , оно превращается в часто используемое звено, называемое статическим звеном первого порядка, инерционным, апериодическим. Величины k и T называются соответственно

коэффициентом усиления и постояной времени.

Колебательное звено

  Уравнение динамики такого звена было получено ранее на примере RLC контура. Такое звено имеет дифференциальное уравнение вида

.

Перейдем к изображению Лапласа, получим:

.

  .

Откуда следует выражение его передаточной функции

 

Колебательное звено, у которого , называется консервативным

( резонансным) звеном.

Аналогичным образом получены передаточные функции остальных типовых звеньев, результаты внесены в таблицу 1:

Таблица 1.

Тип звена	Передаточная функция
1. Безынерционное звено	k, k = const
2. Идеальное дифференцирующее звено	k s
3. Дифференцирующее звено с замедлением	ks / (1+Ts)
4. Идеальное интегрирующее звено	k / s
5. Интегрирующее звено с замедлением	k / (s (1 + Ts))
6. Апериодическое звено 1-го порядка	k / (Ts+1)
7. Апериодическое звено 2-го порядка	k / (T2s2+T1s+1)
8. Колебательное звено	k / (Ts2+2ξTs+1)
9. Идеальное форсирующее звено	Ts+1
10. Изодромное звено	k ( Ts +1) / s
11. Консервативное звено	k / ( T2 s2+ 1 )

Топология систем управления. Способы соединения элементов

Символическое изображение всех функциональных элементов и связей между ними, отражающее последовательность взаимодействия процессов в системе управления, называется функциональной  или структурной схемой.

Если известна структурная схема и параметры системы, то можно, пользуясь аппаратом структурных преобразований, найти передаточную функцию любой системы.

При исследовании линейных систем важно уметь приводить  структурные схемы к форме наиболее удобной для расчетов. Для этого необходимо научиться заменять одни структурные схемы на равноценые, но более удобные для проводимых расчетов или проводимого моделирования, что  позволяет значительно упростить определение характеристик систем и сократить объем необходимых для этого вычислений. Всякая структурная схема представляет собой  совокупность более простых структур, точек разветвления, сумматоров, соединенных между собой различными способами. Любое преобразование структурной схемы сводится  к эквивалентной  перестановке различных ее соседних элементов. Точки разветвления линейных систем называются узлами. Основной принцип перестановки элементов структурной схемы состоит в том, что все входные и все выходные переменные преобразуемого участка должны остаться неизменными. Одномерной системой управления называется система, имеющая один контур управления, то есть система с одной управляемой координатой и одним задающим воздействием. Многомерной САУ называется такая система управления, у которой несколько управляемых параметров. Рассмотрим способы соединения элементов в схеме и формулы передаточных функций типовых соединений.

Последовательное соединение

Передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций входящих в соединение звеньев.

  Параллельное соединение

Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций входящих в соединение звеньев.

Соединение с обратной связью

Передаточная функция обратного соединения равняется отношению передаточной функции звена в прямой цепи к произведению передаточных функций звеньев, стоящих в прямой и обратной цепи со знаком + для отрицательной обратной связи и со знаком - для положительной обратной связи, увеличенному на единицу:

.

Вычисление передаточных функций

Нахождение передаточной функции сложного соединения можно произвести несколькими способами. Один из них касается  процедуры последовательного объединения элементов внутри схемы в блоки и нахождения передаточной функции такого блочного содинения элементов.  Второй способ нахождения передаточной функции сложного соединения заключается в использовании формулы Мейсона [1]. Рассмотрим ее. Передаточная функция между двумя произвольными вершинами А и В графа определяется  формулой:

,

где k - количество прямых путей между A и B; Wk - передаточная функция к - го прямого пути, равная произведению передаточных функций, входящих в этот путь ребер; - определитель графа; k - определитель к - го минора графа, полученного путем удаления всех ребер и вершин, лежащих на к - ом пути, а также всех ребер, входящих и исходящих из этих вершин. Такой определитель вычисляется по формуле:

где Wi - передаточные функции различных контуров; Wi Wj - произведение передаточных функций несоприкасающихся пар контуров; WiWjWl - произведение передаточных функций несоприкасающихся троек контуров и т. д. Под прямым путем между двумя заданными вершинами графа будем понимать непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более одного раза. Под контуром будем понимать непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой можно вернуться в вершину начала прохождения, причем каждая вершина внутри контура встречается не более одного раза. Рассмотрим применение формулы Мейсона на примерах.