Основы теории управления (стр. 8 )

Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса

Таблица 2.

Коэфф.	i	Столбец
1	2	3	4
-	1
-	2
	3
	4
	5
…	.	…	…	…	…
	i
…	...	…	…	…	…

Алгоритм составления матрицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости. Для того чтобы автоматическая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялись  условия: 

   

  .

  Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива,  а если равен нулю, то это свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней, что характерно для  неустойчивых систем управления, либо находящихся  на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов равно числу правых полюсов. В таблице Рауса  для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительные величины. Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка, а также исследовать влияние на устойчивость отдельных параметров системы.

Критерии устойчивости  Михайлова и Найквиста (частотные)

Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = iω с целью его рассмотрения в частотной области:

B(iω) = bn (iω)n + bn-1 (iω)n-1+ ...+ bo = A (ω) e iΨ (ω) = P(ω) + i Q(ω) = 0.

При изменении ω от 0 до ∞,  вектор B(iω) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:

Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(iω) при ω = повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (n)/2, где n - степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.

  В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z(jω) разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости s. Рассмотрим функцию

  1+ Z(iω) = 1 + .  (2.1)

В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома  A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am

не выше степени n полинома B(s)= b0 sn + b1 sn-1+ ...+ bn. Тогда степени числителя и знаменаодинаковы и равны n. В плоскости s функция 1+ Z(iω) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец  расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

  Для того,  чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы  при возрастании ω от 0 до ∞ вектор 1+ Z(iω), скользящий своим концом по  амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, jω) в направлении по часовой стрелке k/2  раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскости s.

Корневые показатели качества

Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления  считается выполнение условия:

σi <  0;  (si = σi + jωi, i= )

где si - корни характеристического уравнения замкнутой системы.  Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения замкнутой системы управления на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах при подаче на вход системы единичной ступенчатой функции.

si  = σ i < 0 , ( i = 1,…, n)

si = σ i +jω, σ i < 0, ( i = 1,…, n)

s i = σ i > 0

s i = σ i + j ω i,  σi > 0,

  h(t)

t

si = jω, автоколебания

h(t)

t

Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического уравнения эталоной (идеальной) САУ:

  si ∈ Ω,  (Ω = σ + jω: σ ≤ -η, η > 0, | ω | ≤ μ |σ| ).

Здесь приняты следующие обозначения: η - степень устойчивости; μ - показатель колебательности. Область Ω  выглядит следующим образом:

где . Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:

степени устойчивости

  η = | max Re(si)|,  Re(si) < 0,  ( i = 1,…, n),

  запасом устойчивости по амплитуде называется  относительное 

  увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы,  при котором 

  устойчивая система доходит до границы области устойчивости;