Основы высшей математики и математической статистики (стр. 10 )

Решение: Полагаем , тогда данное уравнение перепишется в следующем виде:

, или

Интегрируя это уравнение, находим

или

Заменяем в последнем уравнении величину z ее значением:

;

Интегрируем второй раз и получаем общее решение данного уравнения:

Как видим, общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

§ 6.6 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА.

Числа вида

(1)

где х и у - любые действительные числа, а i - мнимая единица, опре­деляемая равенством называются комплексными числами. Числа x и у называют соответственно действительной и мнимой частями ком­плексных чисел z и обозначаются

Запись комплексного числа в виде (1) называется алгебраической фор­мой комплексного числа.

Комплексное число z = х + iy может быть изображено в декартовой ко­ординатной плоскости хОу либо точкой с абсциссой х и ординатой у , ли­бо радиусом вектором этой точки (рис. 6.2). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается или r :

(2)

Угол, образованный этим вектором с положительным направлением дей­ствительной оси Ох, называется аргументом числа z и обозначается Argz:

Величина Argz многозначна и определена с точностью до числа, крат­ного . Значение Argz , заключено в пределах от - до , называется главным и обозначается arg z или :

.

Два комплексных числа и считаются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Два комплексных числа z = x + iy и z=x-iy отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической фор­ме, производятся по следующим правилам:

;

;

 

y

y z=x+iy

r

 

0 x x

Рис. 6.2

§ 6. 7 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие вид
(14)

где р и q - постоянные величины, называются линейными однород­ными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим некоторые свойства этих уравнений.

Теорема 1. Если функция является решением уравнения (14), то функция (где С1 - произвольная постоянная), также будет его реше­нием.

Доказательство. Подставив в уравнение (14) вместо функции у и ее производных соответственно С1у1, (С1,у1)' и (С1,у1)//, получим , т. е.

. (15)

В силу равенства (15): ; 0=0- тождество.

Следовательно, функция С1у1 является решением уравнения (14).

Теорема 2. Если функции у1 и у2 - решения уравнения (14), то функция - так же его решение.

Доказательство. Так как у1 и у2 - решения уравнения (14), то

; (16)

Подставив в уравнение (14) вместо и у функцию у3 и ее произ­водные будем иметь:

,

или

.

Принимая во внимание равенства (16), получим 0 + 0 = 0- тождество. Следовательно, функция у3 = у1 + у2 - решение уравнения (14).

Пример. Проверить, что функции и - решения уравнения

у" +2у' -8у = 0 (17)

Подставляя в уравнение (17) последовательно у1 и у2 и их производные, получаем , или

- тождество

или

- тождество.

Следовательно, функции и решения уравнения (17).

Два решения y1, и y2 дифференциального уравнения (14) называются линейно независимыми, если одно из них не является произведением друго­го на постоянную величину. В противном случае решения у1 и у2 называ­ются линейно зависимыми.

Например, функции и являются линейно независимыми реше­ниями уравнения (17), так как при любом постоянном k

Теорема 3. Если и у2- два линейно независимых частных решения уравнения (14), то функция

(18)

где С1, и С2 - произвольные постоянные, является его общим решением.

Доказательство. Так как, по условию у1 и у2- два частных решения уравнения (14), то, согласно теореме 1, и , где С1, и С2- произволь­ные постоянные, тоже будут его решениями, а потому (по теореме 2) их сум­ма [функция (18)] так же будет его решением. Функция (18) содержит два произвольных постоянных и не может быть преобразована в равносильную ей функцию, содержащую только одну произвольную постоянную, та как у1 и у2 - линейно независимые решения.

Следовательно, функция (18) - общее решение уравнения

Так, например, общим решением уравнения (17) будет функция

,

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Функции и , очевидно, при любых действи­тельных значениях С1 и С2 будут двумя линейно независимыми частными решениями этого уравнения.

Из этой теоремы следует, что для нахождения общего решения уравнения вида (14) достаточно найти два линейно независимых частных решения у1 и у2. Пример, рассмотренный выше, наводит на мысль, что такие частные решения можно искать в виде , где k - некоторое число. Тогда

;

Подставив в уравнение (19) вместо у и ее производных их выражения, получим:

;

или

,

отсюда

(20)

так как . Корни уравнения (20), очевидно, будут теми значениями k, при которых функция (18) будет удовлетворять уравнению (14), т. е. будет его решением. Это уравнение (20) принято называть характеристическим уравнением по отношению к уравнению (14).

Из алгебры известно, что корни уравнения (20) находятся по формуле:

(21)

При этом зависимости от числовых значений p и q возможны следующие случаи:

1.  Корни k1 и k2 характеристического уравнения (20) – действительные и разные по величине

2.  k1 и k2 - действительные числа равные между собой

3.  k1 и k2 – сопряженные комплексные числа.

Рассмотрим эти случаи по порядку.

Первый случай. Если k1 и k2 - разные по величине действительные числа, то функции и , будут частными линейно не зависимыми решениями уравнения (14). В этом случае общее решение будет иметь вид

(22)

Пример: решить уравнение

Решение: полагая , получим:

; ;

или

Характеристическое уравнение можно написать сразу, заменив в данном уравнении и у величинами k1 и k2 и 1. Решив это уравнение, найдем k1=3, k2=1. Частным решением будут функции:

Следовательно, общее решение имеет вид

Второй случай. Из формулы (21) видно, что характеристическое уравнение (20) имеет равные корни , если

(23)

Непосредственно получаем только одно частное решение:

.

Докажем, что в этом случае вторым частным решением уравнения (14) является функция

т. е. . (24)

Найдем первую и вторую производные этой функции:

Подставив выражение (24) и ее производных в уравнение (14), получаем:

или

Приняв во внимание условие (23), имеем:

или - тождество.

Это значит, что функция (24) – решение уравнения (14)в случае, когда оно имеет равные корни.

Следовательно, при общим решением уравнения (14) является функция

Пример: решить уравнение

Решение: характеристическое уравнение имеет равные корни Частными линейно независимыми решениями этого уравнения являются функции:

Общее решение имеет вид:

Третий случай. Уравнение (20) имеет сопряженные комплексные корни тогда, когда Обозначив их кратко в виде

(25)

где частные решения уравнения (14) можно записать так:

(26)

Эти решения можно заменить двумя независимыми функциями:

(27)

, (28)

не содержащими мнимых величин.

Уравнение (20) будет иметь комплексные корни (25), если

и уравнение (14) имеет вид

(29)

Докажем, что функции (27) и (28) являются решениями этого уравнения.

Найдем первую и вторую производные функции (27):

Подставив значения в уравнение (29), получим:

Итак, функции (27) и (28) являются двумя линейно зависимыми частными решениями уравнения (14) в случае, когда уравнение (20) имеет сопряженные комплексные корни. Поэтому общее его решение имеет вид

(30)

где и С2 – произвольные постоянные.

Пример: найти общее решение уравнения

Р2шение: находим корни характеристического уравнения

Следовательно, а=-1, b=2. Подставив эти значения a и b в формулу (30), получаем общее решение:

УПРАЖНЕНИЯ.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общий интеграл уравнений:

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Однородные уравнения.

Найти общий интеграл уравнений:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Линейные уравнения.

Найти общее решение уравнений:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6.

Найти частное решение уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

Найти общее решение уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Линейные, однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найти общее решение уравнений.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задачи.

Задача №1. На опытах с бактериями установлено, что при достаточном запасе пищи скорость размножения бактерий пропорциональна их количест­ву. Составьте дифференциальное уравнение размножения бактерий и найдите его общее и частное решения, учитывая, что по истечению суток число бак­терий утроилось.

Задача №2. На опыте с бактериями установлено, что при введении пре­парата скорость гибели бактерий пропорциональна их количеству. Составить дифференциальное уравнение процесса гибели бактерий и найти его общее и частное решение, учитывая, что по истечению 36 часов число бактерий — уменьшилось в 5 раз.

Задача №3. Опыт показывает, что при облучении пораженного участка кожи гамма излучением скорость гибели раковых клеток пропорциональна их количеству. Определить, через сколько сеансов число раковых клеток уменьшится в 100 раз, если после трех процедур их число уменьшилось в 20 раз, при длительности процедуры 10 минут.

Задача №4.Скорость сокращения мышцы пропорциональна абсолютно­му сокращению , где - длина мышцы до сокращения, - длина мышцы для данного момента времени t в период сокращения. Найти закон сокращения мышцы, считая, что при t = 0,

Задача №5. В начальный момент времени в радиоактивном препарате было т0 грамм висмута. Скорость распада висмута пропорциональна числу нераспавшихся атомов. За первые два часа после начала отсчета времени рас­палось 20 % от первоначального количества атомов. Через какое время рас­падется половина атомов висмута?

Задача №6. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура тела равна 900 С, а температура воздуха равна 100 С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждалось до 50 0С. В течение какого промежутка времени тело охладится до температуры 40 0С?

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

ЗАНЯТИЕ № 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА.

§ 1.1. МНОЖЕСТВА

Раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из за­данного множества и размещение этих элементов в каком-либо порядке, на­зывают комбинаторикой.

Совокупность, набор, собрание элементов, объединенных по какому-либо признаку, называют множеством. Например, множество точек из окружности, множество целых чисел, множество планет Солнечной системы, множество птиц и т. д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляются слова «собрание», «коллекция», «набор», «стадо», «табун», «стая» и т. д. Различные группы, составленные из каких-либо предметов и отличающиеся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называют соединениями. Если, например, из 10 различных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) будем составлять группы по несколько цифр в каждой, например, такие 125, 521, 7846, 4520, 56, 7 и т. п., то будем получать различные соединения из этих цифр. Из них некоторые, например, 7846 и 125 различаются входящими в них предметами и числом предметов.

Предметы (или объект любой природы), из которых составляются соеди­нения, называются элементами. В качестве элементов могут выступать лю­ди, дома, книги, геометрические фигуры, планеты, лекарственные препараты и т. д. Для сокращения записи различных высказываний о множествах и их элементах принята следующая символика: множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита (А, В, С...), а их элементы - малыми (а, Ь, с...). Слово «принадлежит» заменяют символом , «не принадлежит» - . Если элемент х принадлежит множеству С, то пишут х С ; если х не принадлежит множеству С, то пишут х С. Множество, не имеющее элементов, называют пустым и обозначают символом . Примером пустых мно­жеств являются: множество тупых углов равностороннего треугольника, множество действительных корней уравнения х2+1=0, множество людей старше 300 лет. Иногда удобно явно указывать элементы множества: запись {1; 2; 3; 4; 5} означает множество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5; запись {х/х2<1} читается «множество таких х , для которых х2<1».

Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, например:

{х/х2+Зх+2=0}={-2;-1}={-1;-2}.

Объединением двух множеств А и В называется множество, составлен­ное из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначают A В, где символ - знак объе­динения множеств.

Например, объединением множеств А= {1; 3; 4} и В= {0;2} является множество AB = {0; 1; 2; 3; 4} . Можно говорить и об объеди­нении трех и большего количества множеств, и, соответственно, о их пересечении.

 

а

 

б AB

в

 

г

 

д

 

Рис. 1.1 Диаграммы Эйлера-Венна

На рис. 1.1, а) множество AB, представляющее собой объ­единение множеств А и В, изо­бражено заштрихованной обла­стью.

Пересечение множеств А и В — это множество, составленное из элементов, принадлежащих од­новременно обоим множествам (рис. 1.1,б)

Пересечение множеств А и В обозначают через АВ, где - знак пересечения множеств, на­пример:

{1;3;4}{0;2}=,

{1;3;4}{0;1;2;3}={1;3}