Основы высшей математики и математической статистики (стр. 7 )

.

Вычислив этот неопределенный интеграл получим уравнение

(5)

содержащее произвольную постоянную С. Очевидно, уравнению (5) на плос­кости будет соответствовать бесконечное множество кривых (семейство кри­вых), уравнения которых будут отличаться друг от друга только постоянными слагаемыми.

Пусть нам дано Тогда

Следовательно,

Придавая произвольной постоянной С последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,…, получим:

Производные этих функций равны: у'х =2х, вследствие чего проме­жутки убывания (-∞ < х < 0) и возрастания (0 < х < ∞) будут одинаковы. Функции имеют минимум при х = 0, наклон их графиков в точках с одной и той же абсциссой (рис 4.1) относительно оси Ох один и тот же, так как

 

 

Рис. 4.1

Построив график одной функции (например, ), графики осталь­ных можно получить перемещением его параллельно оси Ох (рис. 4.1). Оче­видно, что неопределенному интегралу от функции f(x) = 2x на плоскости соответствует семейство одинаковых парабол, симметричных относительно оси Оу и отличающихся друг от друга лишь смещением вдоль оси Оу.

Таким образом, геометрически неопределенный интеграл представляет­ся семейством интегральных кривых.

Пример 1: Найти

Решение: предлагается найти такую функцию, производная которой равна 5х4. Из дифференциального исчисления известно, что 5х4 =(x5)'x следовательно,

Пример 2: найти

Решение: в данном случае ищется функция, производная которой равна Из дифференциального исчисления известно, что

, следовательно,

§ 4.3 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

1)Производная неопределенного интеграла равно подынтегральной функции, т. е. . Это свойство непосредственно вытекает из опре­деления неопределенного интеграла и доказательства не требует. Так, если f(x) = 5x4, то

т. е.

2)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Это свойство вытекает из определения неопределенного интеграла. Для пояснения рассмотрим следующий пример:

Пусть , получим

или

3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т. е.

Например,

4) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т. е. если - величина постоянная, то

так как

и .

5) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е. сумме левой и правой частей.

Справедливость этой формулы легко обнаружить, сравнив производные левой и правой частей. По первому свойству неопределенного интеграла, имеем

Применив к правой части правило дифференцирования алгебраической суммы функций, получаем

Следовательно,

§ 4.4 НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Из определения неопределенного интеграла следует

(6)

Пользуясь этой формулой можно найти интегралы простейших функций и составить таблицу основных формул интегрирования.

Предположим

Подставив в формулу (6) вместо его значение, найдем

а так как

то

Эта формула справедлива при любом постоянном n, не равном -1.

Таким же путем были получены основные формулы интегрирования, приведенные ниже.

ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРАЛОВ.

1)

2) при

3)

4)

5)

6)

7),

8)

9)

10)

11)

12)

13)

В справедливости данных формул можно убедиться дифференцирова­нием: производная правой части каждой из них должна равняться подынте­гральной функции левой части.

Нахождение интегралов, основанное на применении приведенных фор­мул, называется способом непосредственного интегрирования.

Чтобы из множества первообразных функций выделить определенную функцию, необходимо иметь дополнительное условие, дающее возможность определить значение произвольной постоянной С.

Пример: найти функцию, производная которой 4х3 - 2х + 3, зная, что

при х: = 1 эта функция принимает значение, равное 4.

Решение: обозначив искомую функцию через у получим

или

Отсюда

или

Итак,

-общее решение (7)

Нам предложено найти ту из первообразных функций, которая при х = 1 принимает значение, равное 4. Эти данные (х = 1, у = 4) принято называть начальными значениями аргумента х и функции у или началь­ными условиями задачи.

Подставив в уравнение (7) вместо х и у их данные значения, нахо­дим:

Заменяя в равенстве (7) произвольную постоянную С ее значением, получаем искомую функцию:

- частное решение.

§ 4.5 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

Укажем теперь несколько приемов, которые во многих случаях по­зволяют сводить заданные интегралы к табличным. Такими примерами явля­ются: интегрирование методом разложения, интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям.

Интегрирование методом разложения с использованием элементарных математических операций.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью прямого интегрирования.

Приведем простейшие примеры.

Пример 1: найти

Решение: так как то

Проверка:

Пример 2: найти

Решение: имеем

Удачно разложив подынтегральное выражение, мы свели интеграл к табличным интегралам.

Интегрирование методом замены переменной.

Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирова­ния х новой переменной z свести данный интеграл к новому интегралу, который содержится в таблице основных интегралов. Этот метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.

Введем вместо х новую переменную z связанную с х соотношени­ем , где - непрерывная монотонная функция имеющая не­прерывную производную . Покажем, что имеет место равенство

(8)

Формула (8) называется формулой замены переменной. Для доказательст­ва справедливости формулы (8), очевидно, достаточно убедиться, что диф­ференциалы обеих частей равны.

Дифференцируя левую часть соотношения (8), имеем

Но так как , то Поэтому

(9)

С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения (8), имеем

(10)

Соотношения (9) и (10) показывают, что

Тем самым справедливость формулы (8) доказана.

Пример 1: найти

Решение: положим , находим Применяя формулу (8), получаем

но Поэтому

Возвращаясь снова к переменной х получим

Пример 2: найти

Решение: полагая и применяя формулу (7), имеем

Интегрирование по частям.

Пусть u = u(x) и - две функции от х, имеющие непре­рывные производные. Из дифференциального исчисления мы знаем, что

(11)

Интегрируя обе части равенства (11), имеем

или

Но

поэтому

(12)

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению инте­грала вида , который во многих случаях оказывается более простым.

Пример 1: найти

Решение: положим ; тогда

Формула (12) дает:

Пример 2: найти

Решение: положим ; отсюда найдем .

Применяя формулу (12), получим

Но

следовательно,

УПРАЖНЕНИЯ.

1)Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

2)Найти интегралы методом подстановки:

1. 4.

2. 5.

3.

3.Найти интегралы методом интегрирования по частям:

1. 2.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

6.

7.

. ЗАНЯТИЕ № 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

§ 5.1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Пусть на сегменте (рис 5.1) задана функция у = f(х). С помощью точек деления х1 < x2 < ... < xi-1 < xi, < ... < xn-1 разобьем сегмент на n «малых» сегментов: где х0=а, хn=b. В каждом из малых сегментов выберем произвольную точку и умножим значение функции у = f(x) в точке на длину соответствующего сегмента:

(1)

Составим сумму Sn таких произведений:

или

(2)

Сумма вида (2) называется интегральной суммой.

Назовем наибольшую из длин малых сегментов [хi-1,хi] шагом разбиения

и обозначим его через .

Пусть число n сегментов разбиения [хi-1,хi] неограниченно растет и . Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел S, который не зависит от способа разбиения сегмента [а, Ь] на малые сегменты [хi-1,хi] и от выбора точек в каждой из них, то это число S называется определен­ным интегралом от функции f(x) на сегменте [а, Ь] и обозначается сим­волом (читается так: «определенный интеграл от а до b от f(x) на dx»). При этом площадь, определяемая интегральной суммой (2) стре­мится к площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x) и осью х в пределах интервала [a,b] (рис. 5.1).

Таким образом,

(3)

Числа а и b называются соответственно нижней и верхней границами (пределами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, х -переменной интегрирования, а сегмент [а,b] - сегментом интегрирова­ния (или областью интегрирования).

Таким образом, приходим к следующему определению.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремит­ся интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Функция f(x), для которой на сегменте [a,b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом сегменте.

Таким образом, анализ показывает, что площадь криволинейной трапе­ции, ограниченной кривой у = f(x), где f(x) 0 для всех х на сег­менте [a, b], численно равна интегралу, определенному от функции f(x) в интервале [a,b]:

(4)

Таким образом, с геометрической точки зрения, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапе­ции.

y

 

B

 

A

 

0 a=x0 x1 x2 xi+1 i xn-2 n-1 xn-1 n xn=b x

Рис.5.1

Простейшие свойства определенного интеграла.

1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл
меняет знак на противоположный:

4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5.Отрезок интегрирования можно разбить на части:

§ 5.2 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА.

В теореме о производной интеграла по верхней границе доказывается, что производная от интеграла по верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей:

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Теорема о производной интеграла по верхней границе позволяет установить простой метод вычисления опреде­ленных интегралов, минуя суммирование и переход к пределу. Этот новый метод вычисления определенного интеграла выражается формулой Ньютона-Лейбница, вывод которой мы рассмотрим.

Функция является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f(x). Как известно, всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от S(x) только постоянным слагаемым. По­этому, если F(x) - другая первообразная для f(x) , то S(x) = F(x) + С, или

(5)

Постоянную С легко найти, если заметить, что , как интеграл с равными границами интегрирования. Поэтому, подставляя в соот­ношение (5) х = а, получим

Отсюда С=F(a) и, следовательно,

В частности, при х=b имеем

(6)

Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она показывает, что для того, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первооб­разную F(x) для подынтегральной функции f(x) и взять разность значе­ний этой первообразной, вычисленных для значений х, равных верхней и нижней границам интегрирования. Короче говоря, определенный интеграл равен приращению первообразной от подынтегральной функции на сегменте интегрирования.

Разность F(b)-F(a) символически обозначают :

.

Применяя этот символ, мы можем записать формулу Ньютона - Лейбница в таком виде:

(7)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить

Решение: Одной из первообразных от подынтегральной функции является функция Поэтому, применяя формулу (6) Ньютона-Лейбница, получим

Пример 2. Вычислить .

Решение: по формуле (6) Ньютона-Лейбница

Замечание. Формула Ньютона-Лейбница была введена в предположения, что подынтегральная функция f(x) непрерывна. Для разрывных функций формула Ньютона Лейбница может не иметь места.

§5.3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

При вычислении определенного интеграла способом замены переменной мы приходим к определенному интегралу с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования и заменяются новыми пределами и :

Пример 1. Найти

Решение: Полагая , тогда . При х=0, ; при х=а, , . Итак, а=0, b=