Основы высшей математики и математической статистики (стр. 11 )

Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат А и не при­надлежат В.

Разность между А и В обозначается символом А\В. Например, если А = {а; b; с; d; e} и В= {b; d; e; к; f; n}, то А\В = {а; с}. Таким образом, A\B =А\(АВ).

Подмножество В данного множества А - это множество, составленное из некоторых элементов множества А, т. е. подмножество есть часть множе­ства. Пусть А - множество рек в Европе, а В = {Волга; Днепр; Сена; Ока}. Множество В является частью множества А, поскольку каждый элемент В является рекой, протекающей в Европе. Говорят, что В является подмножест­вом множества А и записывается с помощью символов так: В А. Говорят также «подмножество В включено в множество А». Это высказывание экви­валентно следующему: «В множество А включено подмножество В», т. е. А В.

Чтобы наглядно изобразить множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях, например, если мы хотим наглядно изобразить, что множество А является собственным подмножеством множества В, то рисуем эти множества так, как это показано на рис. 1.1, в.

Если же надо показать, что подмножества А и В не имеют общих элемен­тов, то эти множества изображают так, как показано на рис. 1.1, г. Такие изо­бражения множеств называют диаграммами Эйлера-Венна. Диаграммы Эй­лера-Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся мно­жеств.

Например, рис. 1.1, д делает очевидными утверждения : если А В и В С, то А С.

Различают два вида подмножеств множества А : собственное и несобст­венное, само А и называют несобственными подмножествами, а все ос­тальные подмножества множества А, если они существуют, называются соб­ственными подмножествами. Число всех подмножеств множества, состоя­щего из n элементов, равно 2n. Некоторые числовые множества имеют специ­альные обозначения. Так, например, множество всех натуральных чисел обо­значают буквой N, множество целых неотрицательных чисел - буквой Z0, множество всех целых чисел - буквой Z, множество всех рациональных чисел - буквой Q и множество всех действительных чисел - буквой R. Часто встре­чаются числовые множества, называемые промежутками:

- замкнутый промежуток или отрезок

[a, b]={xR/a х b},

- открытый промежуток или интервал

(a, b)= {xR/a<x<b}

для интервала иногда используют обозначение ]а; b[

- полуоткрытые промежутки

(a, b] = {xR/a<x b} ,

[a, b)={xR/a x<b}

(возможны обозначения ]а; b] и [а; Ь[)

- бесконечные промежутки (лучи, полупрямые)

(-∞, а) = {xR/x<a},

(-∞, а] = {xR/x а},

(а, +∞) = {xR/x>a},

[а, +∞) = {xR/x a},

(-∞, +∞) = R (прямая)

§ 1.2 РАЗМЕЩЕНИЯ

Пусть число предметов, из которых мы составляем различные соедине­ния, равно трем (например, 3 картины), обозначим эти предметы а, Ь, с. Из них можно составить соединения;

по одному: а, Ь, с ;

по два: ab, ас, be, ba, ca, cb;

по три: abc, acb, bac, bca, cab, cba

Возьмем из этих соединений соединения по 2. Они отличаются одно от другого либо предметами, например ab, и ас, либо порядком предметов, на­пример ab, и Ьа, но число предметов в них одно и то же. Такие соединения называются размещениями из трех элементов по два.

Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, из которых каждое содержит n элементов, взятых из данных m элемен­тов, и которые отличаются одно от другого или элементами, или поряд­ком элементов (предполагается, что n m). Так, написанные выше соеди­нения по 3 будут размещения из трех элементов по 3 (различаются только порядком); соединения по 2 будут размещения из трех элементов по 2 (разли­чаются или предметами, или порядком).

Размещения из данных элементов могут быть по 1, по 2, по 3... и, нако­нец, по m.

Определим число всевозможных размещений, которые можно составить из m элементов, не оставляя самих размещений. Число это принято обозна­чать так: (читается А из m по n). Чтобы найти это число, рассмотрим прием, посредством которого можно составлять всевозможные размещения.

Пусть нам дано m элементов: а, b, с...к, 1.Сначала составим из них все размещения по 1. Их, очевидно, будет m. Значит, . Теперь составим все размещения по 2. Для этого к каждому из ранее составленных размеще­ний по 1 приставим последовательно все оставшиеся m - 1 элементов по 1. Так, к элементу а приставим последовательно оставшиеся элементы: b, с...к, 1; к элементу b приставим последовательно оставшиеся элементы: а, с,...к, 1 и т. д. Тогда получим следующие размещения по 2:

ab, ac, ad… ak, al; m-1 размещений

ba, bc, bd… bk, bl; m-1 размещений

m строк ca, cb, cd… ck, cl; m-1 размещений

………………………………………...

la, lb, lc… lk; m-1 размещений

Так как всех элементов m, то из каждого размещения по одному элементу мы получим m - 1 размещений по 2, а всего их будет (m - 1)m. Очевид­но, что других размещений по 2 быть не может.

Значит

А2т=т(т-1).

Чтобы составить теперь размещения по 3, берем каждое из составленных
сейчас размещений по 2 и приставляем к нему последовательно по одному
все m - 2 оставшихся элементов. Тогда получим следующие размещения по
3:

abc, abd,… abk, abl m-2 размещений

acb, acd,… ack, acl m-2 размещений

(m-1)m строк ………………………………………..

lka, lkb,… m-2 размещений

Так как число всех размещений по 2 равно m (m - 1) и из каждого полу­чается (m - 2) размещения по 3, то из всех таких размещений окажется:

(m - 2)[m(m - l)]=m(m - l)(m - 2).

Следовательно:

A3m=m(m-1)(m-2)

Подобно этому получим

Таким образом, число размещений m элементов по n можно определить выражением:

(1.1)

Можно сказать, что число всевозможных размещений из m элементов

по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых

наибольшее есть m.

Например:

и т. п.

§ 1.3. ПЕРЕСТАНОВКИ.

Если размещения из m элементов взяты по т т. е. различаются только по­рядком элементов, то такие размещения называются перестановками. Можно сказать, что каждая последовательность m элементов, составленная из этих элементов, называется перестановкой. Например, перестановки из двух эле­ментов а и b будут размещения из 2 по 2, т. е. ab и bа, перестановки из трех элементов будут размещения из 3 по 3, т. е. abc, acb, bac, bca, cab, cba и т. п.

Число всевозможных перестановок из m обозначается Р (здесь Р есть на­чальная буква французского слова «permulation» , что значит «перестанов­ка»).

Так как перестановки из m элементов - размещения из m no m, то число перестановок будет определяться формулой:

или

(1.2)

Число всевозможных перестановок из m элементов равно произведению натуральных чисел от 1 до m.

Произведение чисел обозначают m! (m с восклица­тельным знаком) и называют «m - факториал».

Например:

1!= 1,

Полагают

Часто используется рекуррентная формула:

(m+1)!=m!(m+

Поскольку величина m! быстро увеличивается с ростом m, поэтому для больших значений m для определения указанной величины используется приближенная формула Стерлинга:

(1.4)

В некоторых формулах встречается m!! («полуфакториал»).

- для четного m =2k

- для нечетного m=2k+1.

Справедливы формулы, указанные ниже:

(1.5)

(1.6)

§1.4. СОЧЕТАНИЯ

Если из всех размещений, которые можно составить из m элементов по n, мы отберем только те, которые одно от другого разнятся, по крайней мере, одним элементом, то получим соединения, которые называются сочетаниями.

Например, из четырех элементов а, b, с и d сочетания по 3 будут:

abc, abd, acd, bed.

Если в каждом из этих сочетаний сделаем всевозможные перестановки, то получим всевозможные размещения из четырех элементов по 3:

abc	abd	acd	bed
acb	adb	adc	bde
Ьас	bad	cad	cbd
эса	bda	cda	cdb
cab	dab	dac	dbc
cba	dba	dca	deb

Число таких размещений равно, очевидно,

Таким образом, число всех размещений из m элементов по n, умножен­ному на число всех перестановок, какие можно сделать из n элементов, т. е.

(1.7)

где обозначает число всех сочетаний из m пo n (С есть начальная бу­ква французского слова «combinaison», что означает «сочетание»).

Отсюда получаем следующую формулу для числа сочетаний:

(1.8)

Например: и т. п.

Формулу числа сочетаний можно привести к другому виду, если умно­жим числитель и знаменатель ее на произведение m-n). Тогда в чис­лителе получим произведение m(m-1)...[m-(n-1)]ּ1ּ2ּ3ּ(m-n). Переставив сомножители, получим:

1 2 3 … (m-n)ּ[m-(n-1)]…m.

Следовательно:

Заменив в последней формуле n на m-n, получим:

Сравнивая последнюю формулу с предыдущей, находим:

(1.9)

Соотношение (1.9) позволяет упростить нахождение числа сочетаний из m элементов по n когда n превосходит m/2.

Например:

1.5. БИНОМ НЬЮТОНА

Из алгебры известны формулы:

(а + b)0=1, (1.10)

(а + b)1 =а + b, (1.11)

(a + b)2 =a2 +2ab + b2, (1.12)

(а + b)3 =а3 +3a2b + 3ab2 +b3 (1.13)

Обращает внимание то обстоятельство, что числовые коэффициенты в указанных выше уравнениях взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля:

1

1 1

1 2 1

…………………………………..

В каждой строке треугольника Паскаля вписаны коэффициенты двухчле-на в степени соответственно нулевой, первой, второй и т. д.

Запишем выражение:

(а + b)4 =(а + b)3(а + b) = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4ab3 + b4,

из которого следует, что коэффициенты суммы получаются точно по тому же правилу, т. е. определяются цифрами одной из строк треугольника Паскаля.

Возникает гипотеза, что справедливо выражение:

(1.14)

или

(1.15)

Подставляя – b на место b, получим:

(1.16)

Формулы (1.15) и (1.16) известны как формулы бинома Ньютона, кото­рая была указана в 1665 году знаменитым английским математиком и физи­ком Исааком Ньютоном без строгого доказательства.

Для целых положительных показателей формула впервые была доказана Яковом Бернулли с помощью теории соединений.

Таким образом, гипотеза верна. Справедливость бинома (1.15) доказыва­ется методом математической индукции, опираясь на равенство:

СВОЙСТВА РАЗЛОЖЕНИЯ СТЕПЕНИ БИНОМА.

1.  Число всех его членов равно m+ 1, т. е. на единицу больше показателя
степени бинома.

2.  Показатели буквы а последовательно уменьшаются на единицу, а по­казатели буквы b увеличиваются на единицу. Сумма показателей букв а и b в
каждом члене равна m, т. е. показателю бинома.

3.  Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца разложе­ния, равны.

4.  Для получения коэффициента каждого члена разложения бинома, начиная со второго, надо коэффициент предыдущего члена умножить на пока­затель степени при а в том же члене, и полученное число разделить на число членов, предшествующих определяемому.

5.Любой член разложения бинома, начиная со второго, определяется
формулой:

6. Сумма всех коэффициентов разложения бинома равна двум в степени бинома (m).

УПРАЖНЕНИЯ.

№ 1. Вычислить: а) ; б) ; в) .

№ 2. Проверить равенство:

№ 3. Решить уравнение:

№ 4. Найти разложение: a)

б)

№ 5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?

Ответ: 95040.

№ 6. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 девушек и 3 юношей так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Ответ: 72.

№ 7. В партии содержится 30 измерительных приборов, из них 8 - повреж­денные. Сколькими способами из этой партии можно отобрать 6 приборов так, чтобы четыре из них были качественные и два поврежденные?

Ответ: 204820.

№ 8. При игре в волейбол в команде участвует 6 игроков. Сколько возмож­ных вариантов размещения игроков на площадке имеется у тренера?

Ответ: 720.

ЗАНЯТИЕ №2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

§ 2.1. СОБЫТИЕ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ.

Теория вероятностей есть математическая наука, которая изучает законо­мерности в случайных явлениях. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта проте­кает каждый раз несколько по-иному.

Известно, что каждая наука, развивающая общую теорию, соответствую­щую области изучаемого ею круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такими понятиями в области геометрии являются понятия точка, линия; в области физики - понятия силы, массы, скорости, ускорения и т. д. Естественно, что не все основные понятия могут быть стро­го определены, т. к. определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через дру­гие должен где-то заканчиваться, дойдя до первичных понятий, к которым сводятся все остальные, и которые сами строго не определяются, а только поясняются.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей, и к ним относятся такие понятия, как понятие события, вероятность события, час­тота события и так далее.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате проведения опыта может произойти или не произойти.

Случайные события можно разделить на единичные и массовые (или статистические). Отдельные исторические события, «катастрофы», «неожи­данности» и т. п., представляющие собой единичные события, поскольку они являются как бы неповторимыми. Единичные события в теории вероятностей и в математической статистике не рассматриваются. Массовые события или явления составляют предмет изучения теории вероятности и математической статистики. Представление о массовых событиях мы связываем с понятием испытания. Если осуществляются определенные условия, позволяющие су­дить о наступлении какого-нибудь события, то в этом случае говорят, что производятся испытания. События принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С...

Приведем несколько примеров событий:

А - появление герба при бросании монеты,

В - появление туза при вынимании карты из колоды,

С - приобретение выигрышного лотерейного билета,

D - появление любимого артиста (Ю. Г.) в праздничный день на эк­ране телевизора,

Е - возможность студента Б получить пятерку при сдаче экзамена по биофизике,

F - возможность студента Б остаться здоровым во время эпидемии гриппа.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни - большей, другие - меньшей. Например, сразу видно, что событие А более возможно, чем собы­тие В и тем более событие С. Ясно, что каждое из таких событий обладает той или иной степенью возможности появления. Чтобы количественно срав­нить между собой события по степени их возможности появления, очевидно, необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число можно назвать вероятно­стью события. Более вероятными считаются те события, которые происходят чаще; менее вероятными - те события, которые происходят реже. Таким об­разом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным понятием частоты появления события.

Случай называется благоприятным некоторому событию, если появле­ние этого случая влечет за собой появление данного события.

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: по­явление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событие А - появление, например, циф­ры 5, будем считать благоприятным случаем. Игральную кость бросают n раз (n - общее число случаев или число испытаний), при этом в m случаях появ­ляется событие А.

Отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев (числу полных испытаний) называют частотой события или статистической вероятностью.

Р*(А) = , (2.1)

где Р*(А) — статистическая (классическая) вероятность или частота события. Предел отношения числа благоприятных случаев к числу полных испытаний при стремлении п к бесконечности называют математической вероятностью, т. е

которая изменяется в том же интервале, что и статистическая вероят­ность. Так как следовательно, статистическая и математическая вероятности могут изменяться в промежутке:.

Вычисление вероятности сводится к подсчету элементов того или иного множества и оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма труд­ной. Классическое определение оправдано тогда, когда существует возмож­ность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при кото­рых происходит испытание, и вследствие этого, симметрии исходов испыта­ния, что и приводит к представлению о «равновозможности». События назы­ваются равновозможными, если при испытании не существует никаких объ­ективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступить чаще, чем какое-либо другое. Например, если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успе­вает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадание любой из ее граней мы считаем равновозможными исходами: Та­ким образом, классическое определение лишь сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности». «Равновозможность» представляет собой объективное свойство испытаний, определяемое условиями их проведения, но, как всякое конкретное свойство, может быть установлено только с из­вестной степенью точности. Наше представление о «симметрии» игральной кости, монете, и т. п. было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений. Данные проверки в сово­купности показывают, что предположение о равновозможности герба и реш­ки, т. е. о том, что с вероятностью 0,5 появляется любая сторона монеты при достаточно большом числе испытаний, находится в согласии с опытом. Од­нако если для исследования применять специальные вероятностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадание герба и решки, в отдельных случа­ях, не одинаково вероятно. Это будет проявлением того факта, что любая ре­альная монета (или игральная кость) не является идеально симметричной. И, тем не менее, представление об абсолютно симметричной монете (или иг­ральной кости и т. п.) очень полезно, так как во многих приложениях теории вероятностей такая модель с равновозможными исходами достаточно точно описывает случайные явления.

Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, таких, как например, игра в кости, игра в «орел - решку», карточные игры и т. п., то есть на примере тех испытаний, которые характеризуются разновозможностью исходов. Эти наблюдения открыли путь для статистического подхода к численному определению вероятности, который особенно важен тогда, когда из теоретических соображений, подоб­ным соображениям симметрии, значение вероятности заранее установить нельзя.

На практике часто приходится иметь дело с невозможными и достовер­ными событиями и с так называемыми « практически невозможными» и «практически достоверными» событиями и другими событиями. События, вероятность которых равна нулю, т. е. события, которые в процессе испыта­ний не могут произойти, называются невозможными. События, вероятность

которых не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю, называется практически невозможными. События, вероятность которых равна едини­це, т. е. события, которые в процессе испытаний обязательно происходят, называются достоверными. События, вероятность которых не в точности равна единице, но весьма близка к единице, называются практически досто­верными. События называются несовместимыми, если появление одного из них при испытании исключает появление остальных событий при том же ис­пытании. В противном случае события называются совместимыми. События А, В, С... называются единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наступает. Говорят также, что рассматривае­мая совокупность событий образует полную группу событий. Два события считаются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от вероятности появления или непоявления другого. В противном случае собы­тия называются зависимыми. Противоположное событие - событие , составляющее с событием А полную группу событий. Можно сказать, что два

события А и называются противоположными, если появление одного из них исключает появление другого. Таким образом, как это следует из изло­женного выше, основные свойства вероятности заключаются в следующем:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

2.Вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое при
испытании обязательно произойдет, равна единице:

Р(В) = 1

3.Вероятность невозможного события, т. е. события, которое в результате испытания не может произойти, равна нулю: Р(С) = 0.

§ 2.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

В предыдущем параграфе мы познакомились с классической формулой для вероятности события, сводящейся к схеме случаев. Но даже когда собы­тие сводится к схеме случаев, зачастую эта схема бывает слишком сложна, и непосредственный подсчет по формуле (1) становится чрезвычайно громозд­ким. Что же касается события, не сводящихся к схеме случаев, то их вероят­ность лишь в редких случаях определяется непосредственно по частотам. По­этому, как правило, для определения вероятностей события применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определить вероятности других событий, с ни­ми связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему косвенных методов, которые позволяют свести необходимый экспе­римент к минимуму.

Применяя косвенные методы, мы в той или иной форме используем ос­новные теоремы теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Строго говоря, указанные два положения являются теоремами и могут быть доказаны только для собы­тий, сводящихся к схеме случаев, а для событий, не сводящихся к указанной схеме случаев оба положения принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты.

Теорема сложения вероятностей.

Суммой событий А и В (обозначается А+В) называется событие, состоя­щее в появлении хотя бы одного из двух событий А и В. Аналогично опреде­ляется сумма большого числа событий. Например, появление четной грани игральной кости есть сумма трех событий: выпадание 2, или 4, или 6.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий, т. е.

P(А + В) = Р (А) + Р (В). (2.3)

Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупно­сти п случаев. Предположим, что из этих случаев m благоприятны собы­тию А, а k - событию В. Тогда

(2.4)

(2.5)

п к

Так как события несовместимы, следовательно, нет таких случаев, кото­рые благоприятны и событию А и событию В вместе, но событию С = А + В благоприятны т + k случаев, тогда

Р(С) = Р(А + В) =.

отсюда

(2.6)

На основании уравнений (2.4), (2.можно записать:

(2.7)