Основы высшей математики и математической статистики (стр. 8 )

Следовательно, применяя формулу замены переменной, найдем

Пример 2. Найти

Решение: положим или В данном случае а=3, b=8. При х=а=3 ; при х=b=8 . Итак, а=2, b=3. Следовательно, по формуле (7) замены переменной имеем

Интегрирование по частям.

Пусть u и - дифференцируемые функции от х. Тогда , отсюда

Интегрируя обе части последнего уравнения в пределах от а до b, получим:

(8)

Выражение (8) представляет собой формулу интегрирования по частям.

Пример 1: вычислить

Решение: положим , тогда и Используя формулу (8), получим:

§5.4 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ПРОЦЕССЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

Пусть дана последовательность чисел u1,u2,u3,…,un,… Числовым рядом называется выражение, представляющее собой последовательность чисел, т. е. выражение следующего вида:

u1,u2,u3,…,un,… (9)

Числа u1,u2,…,un,… называются членами ряда; в частности u1- первый член, u2- второй член,…, un- n-й или общий член ряда.

ряд считается заданным, если известен общий член ряда un, как функция его номера n: Пример рядов:

общий член ряда ;

общий член ряда

Сумма Sn первых n ряда называется n-й частичной суммой ряда:

(10)

Ряд называется функциональным, если его членами являются не числа, а функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х,

Например,

или

(11)

Придавая х какое-либо значение х0 из области определения функции un(x), получим числовой ряд

(12)

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка xо называется точкой сходимости функционального ряда. Если при x = х0 расходится, то точка х0 называется точкой расходимости ряда. Для одних точек, взятых из области определения функции un (х), ряд может схо­диться, а для других - расходиться.

Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида:

(13)

где коэффициенты ряда a0,al,...,an,... - постоянные. В частности, при x =0 степенной ряд имеет вид:

(14)

Если функция f(x) в точке х0 имеет производные до n — го порядка включительно, то ряд имеет следующий вид:

(15)

полученный ряд (15) называется рядом Тейлора для функции f(x).

В частном случае, при х0=0 ряд принимает вид:

(16)

Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f(x).

Тригонометрический ряд:

называется рядом Фурье, соответствующим функции y=f(x), коэффициенты которого определяются по формуле Эйлера-Фурье:

Таким образом, если периодическая функция у = f(x) является суммой правильно сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.

Если в качестве независимой переменной рассматривается время, то опи­сание периодических процессов осуществляется с использованием уравнения Фурье вида:

Функция f(x) называется четной, если для любых х из ее области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . Функция f(x) называ­ется нечетной, если f(-x) = -f(x).

Если в ряде Фурье разлагается нечетная функция f(x), то произведе­ние f(x)сoskx - нечетная функция, a f(x) sin кх - четная функция. Сле­довательно,

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f(x)sinkx - нечетная функция, a f(x) cos kx - четная функция и, следова­тельно,

т. е. ряд Фурье четной функции содержит « только косинусы».

Пример 1. периодическая функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке Функцию f(x) разложить в ряд Фурье.

Таким образом, получим ряд:

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S по­следовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера суммы, т. е.

Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если S является суммой сходящегося ряда

то пишут

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд на­зывается расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда и1 +и2 +и3 +... + ип +... существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена n, т. е.

при p < 1 ряд сходится, а при p > 1 ряд расходится.

Разложение в степенной ряд функции.

Находим производные: При х=0 имеем:

Напишем ряд Маклорена для функции f(x)=ex, воспользовавшись формулой (16):

(17)

Определим область сходимости этого ряда, применяя признак Даламбера:

Следовательно, для любого т. е. ряд (17) сходится абсолютно на всей числовой оси.

Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.

Производная от любой элементарной функции есть функция элементар­ная. Другое дело операция обратная дифференцированию, - интегрирование. Можно привести многочисленные параметры таких элементарных функций, первообразная от которых хотя и существует, но не является элементарной функцией. Так, например, хотя по теореме существования для функций существуют первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти преобразования хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вы­числения значений таких функций.

Так, например, большое значение в различных приложениях играет пер­вообразная ф(х) от функции , удовлетворяющая дополнительному условию ф(0) = 0. Эта функция, в частности, встречается в теории вероятностей и называется интегралом вероятностей. Для нее составлены таблицы для различных значений аргумента х.

Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях.

Приближенное вычисление интегралов методом разложения функции в ряд.

Поясним сущность метода примером.

Пример: вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001.

Решение: применить для вычисления этого интеграла формулу Ньютона – Лейбница мы не можем, так как первообразная для хотя и существует, но не выражается в элементарных функциях. Поэтому разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

(18)

Этот ряд сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом сегменте и, в частности, на сегменте :

Искомый интеграл равен сумме знакочередующегося ряда. Так как а то с точностью до 0,0001 на основании правила оценки погрешности в случае знакочередующегося ряда имеем:

Итак,

§5.5 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Определение интеграла было дано в предположении, что областью ин­тегрирования является конечный сегмент [a,b]. Если же предположить, что область интегрирования бесконечна, например, является интервалом [а, ∞), то даже для непрерывной функции f(x) обычное определение интеграла становится неприемлемым. В данном случае нельзя говорить об интеграль­ных суммах, так как при любом разбиении интервала [a,∞) на конечное число частей одна из этих частей будет бесконечной. Обобщим теперь поня­тие определенного интеграла на случай бесконечности области интегрирова­ния.

Рассмотрим пример.

Функция непрерывна на бесконечном интервале [1,+∞). Поэтому на любом сегменте [1,b], где b>1, существует интеграл

который при b0 имеет предел, равный единице. Этот предел называют несобственным интегралом от функции и обозначают символом

Таким образом,

Обобщая этот пример, рассмотрим функцию у = f(x), непрерывную на бесконечном интервале . Для любого конечного сегмента [а, b] интеграл существует.

Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании b, то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f(x) и обозначают символом

Таким образом,

(19)

В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует (в частности, если он бесконечен), то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

(20)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:

(20 а)

где с- любая фиксированная точка оси Ох.

Таким образом, интеграл существует только тогда, когда существует каждый из интегралов и

Из наших определений непосредственно видно, что несобственный инте­грал является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования.

Заметим, что если функция положительна и непрерывна на бесконечном интеграле [a,∞) и если существует, то мы можем его трактовать как площадь бесконечным интервалом оси Ох [a,∞) и прямой х=а.

Пример 1: исследовать, для каких значений а>0 сходится интеграл

Решение: рассмотрим интеграл

Если 1, то

Если же , то

Если , то и поэтому

Следовательно, в этом случае

Если , то имеем

Таким образом, при сходится, а при расходится.

Пример 2: исследовать на сходимость интеграл

Решение: по формуле (20 а), в которой полагаем с=0, получим

Но

Аналогично можно сказать, что

Поэтому

§ 5.6 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непре­рывной функции f(x). Если может быть найдена первообразная F(x) по­дынтегральной функции, то по формуле Ньютона-Лейбница.

Если же первообразная не может быть найдена или если функция y=f(x) задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сдела­на сколь угодно большой.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большин­стве случаев основаны на том, что определенный интеграл числен­но равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), сегментом [a,b] оси Ох и вертикальными прямыми, проведенными через точки х = а и х =b . Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криво­линейной трапеции.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кри­вая у = f(x) заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой.

Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.

В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для ко­торой площадь новой криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближен­ную формулу интегрирования.

Метод средних прямоугольников.

В качестве приближения к интегралу берется интегральная сумма, в ко­торой значения подынтегральной функции берутся в серединах промежутков, на которые разделен промежуток интегрирования. Предполагается, что все

эти промежутки имеют одинаковую длину - шаг разбиения где а и b – пределы интегрирования, n- число частей (рис. 5.1). Таким образом, интегральная сумма имеет вил:

или

(21)

где

Метод трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл разобьем сегмент интегрирования [a,b] на n равных малых сегментов точками деления: Кроме того положим Длина h каждого малого сегмента равна . Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Оу. Пусть они пересекают кривую в точках Заменим данную кривую y=f(x) впсианной в нее ломаной (рис. 5.2), соединив концы смежных ординат прямыми линями. Для наглядности будем предполагать, что на сегменте [a,b] функция Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломанной, даст нам приближенной значение интеграла

Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограни­ченных сверху звеньями ломанной. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать. В самом деле, основаниями ее будут ординаты смежных точек деления хi-1 и xi а высотой - малый сегмент [xi-1,xi ], длина которого Поэтому площадь такой криволинейной трапеции равна где а

Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломанной

После очевидных преобразований получим

, где

Таким образом, имеем приближенную формулу

(22)

Эта формула называется формулой трапеций.

Формула трапеций, выведенная в предположении, что , остается справедливой для любой функции f(x), непрерывной на сегменте [a,b].

С возрастанием числа n точек деления точность, даваемая формулой трапеций, возрастает.

y

 

А2

А1 An-1

Аi+1 Аi

An

A0

y0 y1 y2 yi-1 yi yn-1 yn

 

0 a x1 x2 xi-1 xi xn-1 b x

Рис. 5.2

Пример: вычислить интеграл с помощью формулы трапеций, полагая n=8 и n=16.

Решение: составим таблицу значений подынтегральной функции при n=8 и n=16 и

По формуле (22) при n=8 получим:

Составив таблицу значений подынтегральной функции n=16 и

,получим

Метод параболических трапеций (метод Симпсона).