Основы высшей математики и математической статистики (стр. 4 )

В обоих этих случаях переменная величина х изменяется так, что абсолютная величина ее становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного положительного числа, как бы велико это число ни было. Такие переменные величины принято называть бесконечно большими. Таким образом, переменная величина х называется бесконечно большой, если она в процессе своего изменения по абсолютной величине становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного положительного числа, как бы велико это число ни было.

Следует знать, что термином «бесконечно большая величина» определяется характер изменения переменной величины и что бесконечность не есть число. Всякое число, каким бы большим оно ни было, конечно.

Положим, что точка М (х, у) перемещается по ветви равносторонней гиперболы ху =1 (см. Рис. 1.1), расположенной в первой четверти, неограниченно приближаясь к оси Оу. Рассмотрим, как при таком перемещении точки М изменяется ее переменная ордината у. При таком перемещении точки М, очевидно, х 0. При х = 0,5; 0,1; 0,02; 0,004;… получим ряд последовательных значений у = 2; 10; 50; 250;…

По мере приближения точки к оси Оу (х 0) переменная ордината у возрастает и притом так, что, как бы велико ни было наперед заданное положительное число N, неизбежно наступает момент, когда абсолютная величина у становится и в дальнейшем остается больше этого числа. Допустим, нами было взято N=1000. Тогда при любых значениях х, начиная с Х =. получим |y| == 1001; |y| >N.

Следовательно, при х 0 ордината гиперболы ху=1 является величиной бесконечно большой.

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует тесная связь, которая определяется следующим образом:

1)Если х – величина бесконечно большая, то обратная ей величина будет величиной бесконечно малой.

2) Если х – величина бесконечно малая, то обратная ей величина будет величиной бесконечно большой.

В математике часто используется понятие такой величины, как ограниченная переменная величина.

Переменная величина у называется ограниченной, если при условии данного вопроса ее абсолютная величина |y| остается меньше некоторого положительного числа, то есть |y| < N . Уясним смысл этого определения на примере.

Пример 1: рассмотрим переменную величину sin x. Из тригонометрии известно, что при любом x

-1 sin x 1.

Отсюда видно, что sin x – величина ограниченная, т. к. приняв за N любое число, большее 1 (например 1,1) будем иметь |y|= sin x <1,1.

§ 1.2. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Понятие предела связано с особым видом изменения переменной величины, служащий основой высшей математики и имеющий первостепенное значение во многих областях науки и техники. Познакомимся с ним на примере.

Рассмотрим изменение переменной величины х = .

Придадим этой формуле другой вид, разделив члены числителя на знаменатель. Получим:

х=a +. (1)

По условию вопроса, t последовательно может принимать значения:

t= 10; 100; 1000; 10 000; 100 000;…; 10n;…∞,

при этом соответствующие значения х будут:

; ; ;

;…; ;… .

Замечаем, что чем больше t , тем ближе значения переменной величины х подходят к постоянной величине a. Из равенства (1) имеем

.

При t∞ правая часть этого равенства является величиной бесконечно малой. Это значит, что переменная величина х неограниченно приближается к постоянной величине а, т. е. =a

Анализ показывает:

Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если разность между ними является величиной бесконечно малой, т. е.

lim x=a, если х-а= , (2)

где - бесконечно малая величина. Разность между бесконечно малой величиной и нулем, очевидно, равна самой бесконечно малой величине: . Следовательно, пределом бесконечно малой величины является нуль. Из равенства (2) следует

, (3)

т. е. переменная величина х, имеющая своим пределом постоянную величину а, равняется своему пределу а плюс бесконечно малая величина.

Примечание 1. Всякая переменная величина, имеющая предел, является ограниченной переменной.

Примечание 2. Бесконечно большая величина х предела не имеет, тем не менее, вместо записи х∞ в дальнейшем часто будем писать lim x = ∞, помня при этом, что символ ∞ никакого числа не выражает.

Примечание 3. пределом постоянной величины а является сама эта постоянная величина lim a =a.

Покажем, что при х∞ предел переменной величины равен 2.

Решение. Находим разность между переменной величиной у и числом 2:

получаем

.

При х∞ знаменатель дроби в правой части последнего равенства – величина бесконечно большая, вследствие чего дробь будет величиной бесконечно малой. Разность между переменной величиной у и постоянной величиной 2- величина бесконечно малая. Следовательно, число 2 является пределом у при х∞, т. е. .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1.Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен алгебраической сумме пределов слагаемых

lim(x-y+z)=lim x - lim y +lim z.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

lim xyz = lim(xy)ּlim z = lim x ּ lim y ּlim z.

Теорема 3. Предел частного двух переменных величин, имеющих пределы, равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя не равен нулю.

lim , или lim

при условии lim y =b 0

Теорема 4. Предел корня целой положительной степени из переменной величины, имеющий предел, равен корню той же степени из предела этой переменной.

.

Первый замечательный предел:

.

Второй замечательный предел:

§ 1.3. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ФУНКЦИИ. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ.

1. Очевидно, вопрос о пределе функции у может иметь смысл лишь в том случае, если указывается предел, к которому стремится аргумент х. Зададимся целью уяснить себе смысл утверждения, что пределом функции у при ха (а – какое – либо число) является число b.

Возьмем какую – нибудь последовательность значений аргумента х:

х1; х2; х3; х4;…; хn;… (4)

стремящуюся к числу а, т. е. когда . Таких последовательностей можно выбрать сколько угодно. Всякой последовательности (4) будет соответствовать последовательность значений самой функции y:

y1; y2; у3; у4;…; уn;… (5)

Если любая такая последовательность (5) имеет предел и этот предел равен числу b, то число b называется пределом функции у при х и это записывается так: . Поясним на примере.

Пусть нам дана функция . Проследим ход изменения этой функции при . Положим, что аргумент х принимает последовательность значений:

х= 1,1; 1,01; 1,001;…

стремящуюся к 1. Тогда функция последовательно будет принимать значения

|=3,21; 3,0201; 3,002001;…1, (6)

Отсюда следует

Возьмем далее последовательность значений х, стремящуюся к 1, возрастая (х<1).

x=0,9; 0,99; 0,999;….

Тогда данная функция последовательно будет принимать следующие значения:

|= 2,81; 2,9801; 2,9979;…. (7)

Очевидно, что

Следовательно, при х>1 и х<1

Последовательности (7) и (6) имеют один и тот же предел, значит функция при х имеет предел, равный числу 3.

Таким образом, функция у при х имеет своим пределом число b, если для любой последовательности значений аргумента х, стремящийся к числу а, соответствующие последовательности значений функции у имеет один и тот же предел равный b.

Рассмотрим нахождение предела функций в тех случаях, когда непосредственное применение теорем о пределах не приводит к определенным результатам.

Пример 1. Найти предел функции и при х∞.

Решение. При х∞ три слагаемых этой алгебраической суммы (х, -20х2, -17х) пределов не имеет. Следовательно, в данном случае теорему о пределе алгебраической суммы непосредственно применить нельзя.

Образуем данное выражение, вынося х3 за скобки:

по теореме о пределе произведения находим

Приняв во внимание, что члены ; -; при х∞ будут бесконечно малыми величинами, получаем

Пример 2. Найти предел функции , когда х∞.

Решение. Если непосредственно применить теорему о пределе частного, то получится

.

Запись никакого числа не выражает. Следовательно, в случае, когда делимое и делить являются бесконечно большими величинами, непосредственное применение теоремы о пределе частного определенного результата не дает. В таких случаях нахождение предела частного ведется в следующем порядке: делимое и делитель делят на наивысшую степень аргумента в знаменателе (в данном случае на х2).:

.

В результате преобразования под знаком предела получается дробь, числитель и знаменатель которой при х∞ - величины ограниченные. Процесс нахождения предела записывается так:

Результат можно подтвердить способом, рассмотренным в п.1 данного параграфа. Деля числитель на знаменатель, получаем

.

Пусть аргумент х принимает такую последовательность значений: 10, 100, 1000, ... ; тогда функция (у) последовательно будет принимать зна­чения

2, 2, 2,…,

неограниченно приближающегося к числу 2.

Пример 3. Найти .

Решение. Если непосредственно применить теорему о пределе частного, то получается

=.

Запись никакому определенному числу не соответствует.

1.  Разлагаем на множители числитель дроби, стоящей под знаком предела:

.

2.  Сокращаем полученную дробь на х-3, что х-30, или х и только х. Получаем

=.

3.  Находим предел, пользуясь первой теоремой о пределах:

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы:

1.. 2..

3.. 4..

5.. 6..

7.. 8..

9.. 10. . 11..

12.. 13..

14.. 15..

16.. 17..

ЗАНЯТИЕ №2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

§ 2.1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И МЕТОД ЕЕ НАХОЖДЕНИЯ

Решение любой задачи на определение скорости неравномерного движе­ния по данному уравнению этого движения s = f(t) приводит к нахожде­нию предела вида

Предел этого вида играет весьма важную роль во многих областях науки и техники, поэтому в анализе бесконечно малых величин ему дано специаль­ное название «производная функции».

Производной данной функции у = f(x) при данном значении аргумента х называется предел отношения приращения у этой функции к прираще­нию х аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

На основании этого определения, например, можно сказать, что скорость движения в данный момент t есть производная от пути S по времени t.

Производную функции у = f(x) принято обозначать следующими сим­волами:

у'х (читается «игрек штрих по икс»);

f'(x) (читается «эф штрих от икс»);

у' (читается «игрек штрих»).

Пользуясь этими обозначениями, можно написать

(1)

Аналогично, если s=, то

(2)

Для того, чтобы функция у = f(x) при данном значении аргумента х

имела производную , необходимо, чтобы бесконечно малому

х соответствовало бесконечно малое приращение у функции, т. е. чтобы при и. Отсюда следует, что функция у = f(x) имеет производную лишь при таких значениях аргумента, при которых она непрерывна.*

____________________________________________________________________

* Функция называется непрерывной при , если эта функция существует (определена) при .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Фраза «продифференцировать функцию» эквивалентна фразе «найти производную функции».

Из определения производной вытекает общее правило дифференциро­вания любой функции у = f(x) , которое можно свести к следующим эта­пам, рассмотренным ниже на примере функции .

Аргументу х даем приращение х и находим новое (наращенное) зна­чение функции: у + у = (х + х)2.

1)Находим приращение функции:

у = (у + у)-у = (х2 +2хх + х2)-х2 = 2xx + x2.

2) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

3) Находим производную функции, т. е. предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

Производная у'х = 2х.

Значение производной функции у = f(x) при данном численном значе­нии аргумента х называется частным значением производной. Например, частным значением найденной производной функции при , будет .

Пример: найти производную функции у-х при х = 2 .

Решение: при х = 2 будем иметь. Теперь проведем дифференцирование по общему правилу:

1)

2

3)

4)

таким образом, производная исходной функции .

Аналогичным образом произведено дифференцирование элементар­ных функций. Нахождение их производных сводится к определению по таб­лице, приведенной ниже.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

(

Кроме таблицы производных, для вычислений используются правила дифференцирования. Они легко получаются на основании определения про­изводной и теорем о пределах.

Приведем без доказательства основные из этих правил.

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ.

1.  Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

2.  Производная алгебраической суммы двух или нескольких функций равна
алгебраической сумме производных этих функций. (Функции предпола­гаются дифференцируемыми, т. е. имеющими производные).

3.  Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисля­ется по формуле: (uv)' = u'v + v'u.

4.  Производная частного двух дифференцируемых функций, в котором зна­менатель отличен от нуля, вычисляется по формуле:

5.  Правило дифференцирования сложной функции («правило цепочки»).

Если функция имеет аргумент х, в свою очередь являющийся функцией некоторой переменной t, т. е. , то говорят, что у сложная функция от t, т. е. . Производная функции у по переменной t вычисляется по следующему правилу:

,

т. е. производная сложной функции по независимой переменной t равна произведению производной от функции по промежуточной переменной X на производную промежуточной переменной. Пользуясь таблицей и прави­лами дифференцирования функций, вычисляют производные более сложных функций.

§ 2.2 ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Если зависимость между пройденным путем s и временем t выражается уравнением

, (3)

то скорость движения в момент t определяется по формуле

(4)

Всякое уравнение вида у = f(x) независимо от физического смысла переменных х и у выражает процесс изменения переменной величины у (функции) в зависимости от изменения переменной х (аргумента). Поэтому все сказанное выше о нахождении закона изменения скорости по данному закону движения применимо к скорости изменения любой функции у = f(x) по отношению к аргументу х.

Таким образом, как это следует из выражения (4), первая производная от пути S по времени t есть скорость движения .

В этом и заключается механический или физический смысл производной. Пример 2: при нагревании тела температура его Т изменяется в зависимо­сти от времени t, т. е. Т является функцией от t: Т = f(t) .

Если обозначим повышение температуры за промежуток времени от момента t до момента t + t через T, то получим

тогда отношение

будет средней скоростью изменения температуры за промежуток времени от момента t до момента t + t, а предел этого отношения при , т. е.

,

явится выражением скорости изменения температуры Т в момент t.

2.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

Пусть кривая EF (рис. 2.1) является графиком непрерывной функции у = f(x) . Возьмем на этой кривой точку А(х, у) . Получим

ОА1 =х, А1А = у= f(x).

Дадим абсциссе х приращение х = А1 В1. Тогда наращенному значе­нию абсциссы, равному

ОВ1 =ОА1 +А1В1 =х+х,

будет соответствовать наращенное значение ординаты, равное

B1B = y + y = f(x + x) (5)

Из точки А проведем прямую АВ2, параллельную оси абсцисс, и секу­щую АВ. Получим прямоугольник А1АВ2В1 и прямоугольный треугольник АВВ2.

Очевидно, АВ2 = А1В1 = х и

(6)

BlB2=A1A = y =f(x)

как противоположные стороны прямоугольника А1 АВ2 В1. Вычитая из равенства (5) равенство (6), найдем BlB-BlB2 = f(x+х)-f(x) = y, или В2В = у.

Обозначив угол между секущей АВ и положительным направлением оси абсцисс через , получим B2AB =.A1KA =.

y F

B(x+,y+)

A(x, y) B2

E

y

0 М К А1 В1 x

x

Рис.2.1

Тогда из прямоугольного треугольника B2AB, будем иметь

, или (7)

Равенство (7) показывает, что с геометрической точки зрения отношение приращения функции к приращению аргумента является тангенсом угла наклона к оси абсцисс секущей, проходящей через точки А(х, у) и B(x+,y+.

При 0 точка B, перемещаясь по кривой, будет неограниченно приближаться к неподвижной точке А(х, у), секущая АВ, поворачиваясь около точки А, будет стремиться занять предельное положение, а именно по­ложение касательной AM. При этом, очевидно, угол будет стремиться к углу, образуемому касательной AM с положительным направлением оси абсцисс. Получим