Основы высшей математики и математической статистики (стр. 17 )

Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость роста. Однако ис­черпывающую и глубокую характеристику процесса роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются величинами относи­тельными.

Относительными показателями динамики являются темпы роста и при­роста, характеризующие скорость изменения уровня, т. е. интенсивность про­цесса.

Темп роста. Темп роста показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше базисного или какую часть его составляет. Исчисляется он путем деления сравниваемого (текущего) уровня на базисный:

(5.3)

Если за базу сравнения каждый раз принимается предыдущий уровень, то получаются цепочные темпы роста:

(5.4)

Когда текущий уровень больше базисного, темп роста больше единицы и показывает, во сколько раз увеличивается уровень, по сравнению с базисным. Если же уровень уменьшается, то темп роста будет меньше единицы и пока­зывает, какую часть базисного уровня, принятого за единицу, составляет те­кущий уровень. В этом случае имеет место не рост, а снижение (падение) уровня.

Как и другие относительные величины, темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента, но и в процентах, для чего коэффициенты, полученные по формулам (5.3) и (5.4), необходимо умножить на 100.

Выраженный в процентах, темп роста показывает, сколько процентов те­кущий уровень составляет по отношению к базисному, принятому за 100 %.

В таблице 5.4. показаны цепочный и базисный относительный рост по временному ряду, представленному в таблице 5.2.

Таблица 5.4.

Относительный рост потребления реланиума в городе N.

t, годы	Х(t), тыс. ампул	Относительный рост (тыс. ампул) в %
Цепочный рост	Базисный рост (1988г.-база)
1988	35	…	…
1989	37	105,7	105,7
1990	40	108,1	114,3
1991	44	110,0	125,7
1992	46	104,5	131,4
1993	48	104,3	137,1
1994	50	104,2	142,9
1995	53	106,0	151,4

Из таблицы видно, что потребление реланиума в 1годах росло непрерывно и высокими темпами.

Темп прироста. Темп прироста показывает относительную величину прироста, т. е. величину абсолютного прироста по отношению к базисному уровню:

(5.5)

где - темп прироста, - абсолютный прирост, - базисный уровень.

Выраженный в процентах темп прироста показывает, на сколько процен­тов увеличивается или уменьшается уровень по сравнению с базовым, приня­тым за 100%.

В нашем примере (см. табл. 5.4.)в 1989 году потребление реланиума уве­личилось по сравнению с 1998 годом на 2 тысячи ампул. По отношению к уровню 1988 года (35 тыс. ампул) это составляет 5,71 %:

или 5,71%.

Между темпом прироста и темпом роста существует непосредственная взаимосвязь:

(5.6)

Таким образом, темп прироста всегда на единицу меньше соответствую­щего значения темпа роста, выраженного в форме коэффициента, или на 100 % меньше темпа роста, выраженного в процентах:

(5.7)

Следовательно, если уже вычислены темпы роста, то наиболее удобный путь расчета прироста дают формулы (5.6) и (5.7). Действительно, как это видно из таблицы 5.4., в 1989 году прирост потребления реланиума составил 5,7 % по отношению к базовому, а в 1990 году-14,3 % и т. д.

Средний уровень динамики. Метод расчета среднего уровня ряда дина­мики зависит от характера показателя, динамика которого изучается, т. е. от вида динамического ряда.

Наиболее просто исчисляется уровень периодического ряда динамики, уровни которого можно суммировать, получая итоговые (общие) уровни за более продолжительные периоды. Вполне логично поэтому, исчислять сред­ний уровень периодического ряда так, чтобы при замене фактических уров­ней их средней величиной не изменялся общий уровень за весь рассматри­ваемый период. Это означает, что должно иметь место следующее равенство:

 

n средних уровней

это приводит нас к простой средней арифметической:

(5.8)

где n – число фактических уровней за последовательные промежутки времени.

Возьмем например, следующие данные потребления реланиума в городе N (таблица 5.5.).

Таблица 5.5.

Потребление реланиума в клиниках города N.

t, годы	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	Всего
Х(t),тыс. ампул	35	37	40	44	46	48	50	52	352

Сложив восемь годовых уровней, получим количество реланиума, израс­ходованного за восемь лет, а разделив эту величину на 8, узнаем, сколько в среднем потреблялось реланиума с 1988 года по 1995 год ежегодно:

(тыс. ампул)

Нужно иметь в виду, что средний уровень периодического ряда динамики требует указания двух периодов времени: во-первых, того конкретного (ка­лендарного) периода, за который исчислен средний уровень, и, во-вторых, того периода, который принят в качестве единицы времени, в расчете на ко­торый исчислен средний уровень.

В нашем случае исчислен среднегодовой уровень потребления реланиума за период с 1988 года по 1995 год. Единицей времени, в расчете на которую, рассчитан средний уровень потребления (реланиума), является год.

Средние темпы роста и прироста. Средний абсолютный прирост все­гда является периодическим показателем в анализе временных рядов. Сред­ний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивается или уменьшается уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (год, месяц и т. п.) и определяется выражением:

В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа роста могут быть приняты различные показатели. В настоящее время в тео­рии и практике в качестве такой основы обычно принимают произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период:

или

(5.9)

В основу исчисления среднего темпа роста кладется также взаимосвязь цепных и базисных темпов роста. При этом ставится задача найти такой средний темп роста, чтобы при замене или фактических цепных темпов роста в формуле (5.9) остался без изменения темп роста за весь период (xп: x1). Таким образом, должны иметь место следующие равенства:

следовательно,

(5.10)

Из уравнения (5.10) следует, что формула для определения среднего тем­па роста может быть представлена в двух видах:

(5.11)

где s=n-1, или

(5.12)

который получается при замене произведения цепных темпов равным ему темпов роста за весь период. В последнем случае целесообразно сохра­нить нумерацию уровней значения и =п - 1 в выражении (5.12) которые имеют тот же смысл, что и формуле (5.11).

Таким образом, средний темп роста, выраженный в форме коэффици­ента, показывает, во сколько раз увеличивался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (месяц, год и т. д.).

Для средних темпов роста и прироста сохраняет силу та же взаимосвязь, которая имеет место между обычными темпами роста и прироста, т. е.

(5.13)

Из выражения (5.13) следует, что средний темп прироста, выраженный в процентах показывает, на сколько процентов увеличивался (или уменьшался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени.

Для среднего темпа роста чаще используется второй, т. е. расчет по фор­муле (5.12). Расчет среднего темпа роста по формуле (5.11) осуществляется в тех случаях, когда уровни ряда динамики или темпа роста за весь период не известны, но имеются данные по цепным темпам роста или прироста (см. таблица 5.6.)

Таблица 5.6.

Рост производительности труда в РФ.

Годы	1961	1962	1963	1964	1965
Производительность труда в % к предыдущему году	103	107	104	107	106

Используя формулу (5.11):

Средний темп роста здесь выражен в процентах, так как в процентах бы­ли выражены темпы роста в подкоренном выражении. Отсюда Т = 5,4 %,

т. е. производительность труда в строительстве в 1гг. в среднем ежегодно повышалась на 5,4 %.

Формула (5.12) дает возможность вычислить средний темп роста в двух случаях:

Если известны базисный и конечный уровни.

Если известен темп роста или темп прироста за весь период.

Вычислим, например, среднегодовой темп роста производства газа за пе­риод с 1966 года по 1970 год, если в 1966 году планировалось добыть газа 129 миллиардов м3, а в 1970 году 240 миллиардов м3.

Используя формулу (5.12), получим:

или 113,2 %

Следовательно, производство газа за указанный период должен был воз­растать на 13,2 % ежегодно.

Рассмотрим второй случай использования формулы (5.12).

В 1965 году национальный доход нашей страны возрос по сравнению с 1985 годом на 59 %, т. е. в 1,59 раза. Это дает возможность исчислять средне­годовой темп роста за 7 лет (1гг.). Темп роста за все 7 лет, т. е. от­ношение конечного уровня к базисному (), составляет 1,59, а продолжи­тельность периода роста (п-1) равна 7 годам, отсюда имеем:

или 106,9%

§5.3. СУЩНОСТЬ И ФОРМЫ ТРЕНДА И ПРИЕМЫ ВЫЯВЛЕНИЯ ТЕН­ДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ.

Анализ показывает, что некоторые временные ряды обнаруживают ус­тойчивую тенденцию к росту или снижению уровня рассматриваемого явле­ния с течением времени. Эту тенденцию называют трендом. При классифи­кации типов тренда исходят из абсолютного прироста или снижения. Конеч­но, можно различать типы тренда и в зависимости от величины относитель­ного прироста. При снижающемся и повышающемся тренде имеется соответ­ственно по три варианта изменения явления:

А. Снижающийся или отрицательный тренд.

А-1. Снижение постепенно уменьшается.

А-2. Снижение остается неизменным.

А-3. Снижение постоянно увеличивается.

В. Повышающийся или положительный тренд.

В-1. Прирост постепенно замедляется.

В-2. Прирост остается постоянным.

В-3. Прирост постепенно увеличивается.

Математической функцией трендов типов А-2 и В-2 является рациональ­ная функция, т. е. прямая. При других типах тренда применяются различные математические функции, соответствующие данному типу. Если темп роста остается одинаковым (типа В-2), то функцией тренда служит экспоненциаль­ная функция , тогда для всех t, а это означа­ет, что темп роста остается неизменным. Для многих статистических расчетов требуется определение математической функции тренда. Тренд можно рас­считать по среднему темпу роста. Он начинается от первого члена ряда и кончается его последним членом. Величина тренда должна соответствовать показателю среднего темпа роста.

При При Если использовать средний темп роста, то уравнение тренда примет вид:

(5.14)

причем где s=n-1, и как видно из формулы (5.14) Эту функцию тренда можно применять лишь в пределах ограниченного периода времени и при известной величине общего роста.

Аналитическое выравнивание. Более современным приемом выявле­ния общей тенденции тренда является аналитическое выравнивание. Оно за­ключается в следующем:

1.На основе анализа выделяется определенный этап развития данного
явления и выявляется характер динамики явления не протяжении этого этапа.

2.Исходя из характера динамики, выбирается то или иное математиче­ское выражение закономерности, проявляющейся в изменении явления, т. е.
выбирается то или иное аналитическое уравнение, которому на графике будет соответствовать определенная линия - прямая, парабола, гипербола и т. п.

3.Способом наименьших квадратов определяются параметры аналитиче­ского уравнения выбранной линии, которая наиболее близко проходила бы к
фактическим уровням ряда. Это означает, что сумма квадратов отклонений
фактических уровней от выровненных, т. е. расположенных на искомой ли­нии, должна быть наименьшей:

(5.15)

где х - фактические уровни, а - соответствующие им во времени (t) выровненные уровни, расположенные на искомой прямой или кривой.

4. На основе найденного аналитического уравнения рассматриваются вы­ровненные уровни ряда динамики, соответствующие во времени фактическим уровням.

Таким образом, технически выравнивание сводится к замене фактических уровней такими, которые в среднем менее всего отклонялись бы от фактиче­ских, но имели бы определенное аналитическое выражение.

Выравнивание рядов динамики содержит в себе ряд условностей, однако в ряде случаев оно является полезным, облегчающим выравнивание общей тенденции и изучения характера динамики, в частности изучение сезонных колебаний.

Рассмотрим технику выравнивания рядов динамики по прямой линии:

(5.16)

где t время, т. е. порядковые номера периодов или моментов времени, и параметры исковой прямой.

Подставив уравнение (5.16) и (5.15), получим:

(5.17)

Взяв производные от выражения (5.17) по а0 и а1 и приравняв их к ну­лю, придем к следующим уравнениям:

(5.18)

где x фактический уровень ряда динамики, n число уровней.

Эта система уравнений значительно упрощается, если начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. При нечетном чис­ле уровней получаем тогда такие значения t (таблица 5.7).

Таблица 5.7.

Годы	1990	1991	1992	1993	1994
t	2	1	0	1	2

При четном числе уровней значения устанавливаются так, как это пока­зано в таблице 5.7. В обоих случаях в результате чего система урав­нений (5.18) упрощается и параметры прямой в рассматриваемом случае оп­ределяются выражениями:

(5.19)

(5.20)

Количество отработанных сезонными рабочими человеко-дней испыты­вает сезонные колебания (летние подъемы и зимние спады), которые затуше­вывают общую тенденцию. Переход к среднемесячным уровням за каждый год погасили бы не только сезонные колебания, но и нарастание уровня из месяца в месяц на протяжении этих двух лет. Поэтому, чтобы освободить общую тенденцию динамики от переплетающихся с ней сезонных колебаний, сохранив помесячные уровни, произведем выравнивание по прямой (см. таб­лицу 5.8).

Таблица 5.8

Выравнивание ряда динамики по прямой (данные условные)

Год и месяц	отработано чел.-дней	t	xt	t2
1	2	3	4	5	6
январь 1995г. февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь январь 1996г. февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь	8,0 8,2 10,2 12,0 14,8 16,8 17,2 16,4 15,2 11,6 10,4 9,2 10,6 10,0 11,6 12,8 15,8 19,0 19,4 19,8 19,0 17,4 14,6 10,0	-23 -21 -19 -17 -15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17 +19 +21 +23	-184,6 -172,2 -193,8 -204,0 -220,0 -218,4 -189,2 -147,6 -106,4 -58,0 -31,2 -9,2 +10,6 +30,0 +58,0 +89,6 +142,2 +209,0 +252,2 +297,0 +323,0 +330,6 +306,6 +230,0	529 441 361 289 225 169 121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121 169 225 289 361 441 526	11,4 11,27 11,51 11,74 11,98 12,22 12,45 12,69 12,92 13,16 13,40 13,63 13,87 14,10 14,34 14,58 14,81 15,05 15,28 15,52 15,76 15,99 16,23 16,46
Итого	330,0	0	+542,8	4600	330,0