Основы высшей математики и математической статистики (стр. 3 )

Так как

b=

имеем

b =

соответственно: a = и

a= 6,0625 – (-0,00435)

Следовательно, уравнение регрессии с определенными параметрами (коэффициентами) a и b примет вид:

Y = 6,810200 – 0,004435 xi

3.3 Метод корреляции.

Корреляционные расчеты при изучении связи следствия с одной или несколькими причинами дополняют регрессию. При расчете регрессии влияние второстепенных причин исключают, чтобы подчеркнуть влияние основных причин, сущность связи. При корреляционном расчете исходят из реальной картины проявления связи, отделяют влияние основных причин от второстепенных, используя данные о распределении, обусловленном всеми причинами. При регрессивном анализе связь характеризуют коэффициентами ( а и b) регрессии, по уравнению регрессии подсчитывают теоретические знания. При корреляционном анализе связь характеризуют показателем, который определяет тесноту (интенсивность) связи. Корреляционные расчеты проводят в следующих целях:

1. Проверить, насколько эффективно уравнение регрессии представляет (модулирует) связь.

2. Достаточно ли в уравнении регрессии учтены основные причины, учитывая их силу влияния на следствие, чтобы путем регрессии отразить суть связи, или для рассмотрения связи необходимо привлечь другие причины для раскрытия более тесной связи.

3. При корреляционных расчетах следует учитывать особенности связи явлений, так как они влияют на содержание и смысл показателя.

При непосредственной коррелиции исследуемые параметры находятся в отношении «причина - следствие», например зависимость гидродинамического сопротивления от вязкости крови. При косвенной корреляции оба исследуемых параметра зависят от третьего, например, от наличия концентрации аспирина в крови. При ложной корреляции исследуемые параметры не связаны друг с другом. Путем корреляционных расчетов по числовым данным о параметрах можно получить показатель, который стимулирует связь, в действительности не существенную, например, связь гидродинамического сопротивления кровеносной системы со скоростью распространения света в среде. Показателями корреляции являются мера определенности и коэффициент корреляции. Мера определенности имеет целью количественно оценить тесноту связи относительной величиной. Исходным для установления меры определенности является дисперсия теоретической величины Y относительно средней, т. е.

(3.12)

Этот показатель вариации сопоставляется с общей вариацией исходного распределения и получают меру определенности:

B= , (3.13)

где Yi – значение, рассчитанное по уравнению регрессии,

yi- экспериментальные значения,

-среднее значение, рассчитанное по экспериментальным данным.

Общая вариация включает отклонения эмпирических величин от теоретических и отклонения теоретических величин от средней.

Так как вариация теоретических величин относительно средней, называемой вариацией по линии регрессии, является только частью всей вариации эмпирических величин, мера определенности может находиться только в интервале 0. Чем ближе он к единице, тем лучше избранная функция подходит для описания действительной связи. Если мера приближается к нулю, то никакой связи нет или она очень сильно нарушена. Меру определенности можно рассчитывать и по вариации эмпирических величин относительно рассчитанных по уравнению регрессии:

Если этот показатель вариации сравнить с общей вариацией, то получим меру неопределенности:

(3.14)

Из сказанного о составе общей вариации эмпирических величин следует, что B+U=1. Следовательно, меру определенности можно рассчитать и с использованием следующего выражения:

(3.15)

Коэффициент корреляции r рассчитывают из меры определенности, извлекая из нее положительный корень, т. е.

 

r 1

 

а) (3.16)

r<1 или

 

б) (3.17)

 

r=0

 

в)

 

Рис. 3.1 Корреляционная связь

Из тесной связи коэффициента корреляции с мерой определенности следует, что в отличие от меры определенности он является линейным показателем тесноты между причиной и следствием.

Коэффициент корреляции – это вариационный безразмерный коэффициент, который может принимать значение . Чем ближе коэффициент к единице, тем теснее связь, и наоборот (рис.3.1 а, б, в). Положительное значение коэффициента r (рис. 3.1 а-1) или отрицательное (рис. 3.1 а -2) характеризуют направление корреляционной зависимости. Его, как и меру определенности, можно рассчитать и для линейных и для нелинейных связей. Поэтому он применим независимо от типа функции.

Коэффициентом корреляции пользуются для того, чтобы получить сведения о зависимости следствия от различных причин, и чтобы применить как основную. Если для регрессионных расчетов использовано несколько типов функции лучше описывает связь.

Множественный регрессионный и корреляционный анализ соответствует объективно существующему взаимодействию многих причин (хi), которые вместе определяют величину следствия у.

Так, например, с двумя основными причинами при линейной связи функция регрессии будет иметь вид:

(3.18)

Коэффициенты a, b1, b2 находятся методом наименьших квадратов.

При линейной множественной корреляции исходят из парных коэффициентов корреляции и получают:

(3.19)

где - множественный коэффициент корреляции, который измеряет связь между тремя явлениями.

Анализ с использованием показателей эластичности.

Эластичность – это мера изменения следствия при изменениях причины, которая показывает (абсолютно или относительно) как изменяется следствие, если причина изменяется на единицу или на 1% . Эластичность можно характеризовать с помощью абсолютных и относительных показателей, исходя как из эмпирических, так и из теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, величин.

Абсолютную величину эластичности по эмпирическим данным рассчитывают следующим выражением:

(3.20)

с помощью которого можно дать первую ориентировку о связи. Поэтому его используют, чтобы получить сведения для выбора уравнения регрессии.

Показатель относительной эластичности рассчитывается по формуле:

(3.21)

Если определены параметры уравнения регрессии, то отношение изменения следствия к изменению причины лучше всего выразить функцией эластичности. Ее получают как первую производную функции регрессии и называют абсолютной функцией эластичности

(3.22)

При линейной связи, которая характеризуется уравнением регрессии

Y= a+bx

абсолютная функция эластичности .

Так как коэффициент регрессии b постоянная величина, эластичность для всех х будет одинаковой. При линейной связи абсолютная эластичность и коэффициент регрессии совпадают.

При нелинейных связях эластичность для различных хi различна. Поэтому ее нужно определить отдельно для всех хi или значения xi, представляющих интерес.

Относительную функцию эластичности можно определить следующим выражением:

(3.23)

из которого следует, что

(3.24)

При линейной регрессии относительная эластичность

(3.25)

Таким образом, показатель относительной эластичности (коэффициент эластичности) показывает, на сколько процентов изменяется следствие y, если причина х изменяется на 1%. Можно сказать, что показатель эластичности характеризует податливость следствия к изменению причины.

ЛЕКЦИЯ № 4.

МОДЕЛИРОВАНИЕ.

1.  МОДЕЛИ И ИХ НАЗНАЧЕНИЕ

2.  ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

3.  ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Модели и их назначение.

Законы физики, химии, биологии и других наук, которые используются в практической деятельности человека, нельзя получить с использованием только одних фундаментальных законов без использования дополнительных частных предположений. Например, законы, определяющие взаимодействие электронов со всеми частицами, из которых состоит проводник, хорошо известны, но получить закон Ома для рассматриваемого случая на основании фундаментальных законов не удается. Хотя такую задачу математически можно сформулировать, а вычисление этой задачи окажется не под силу всем существующим ЭВМ, вместе взятым. В подобных случаях используются физические модели, которые упрощают получение исследуемой закономерности. При этом должны быть сохранены наиболее существенные связи и отброшены второстепенные с целью упрощения решаемой задачи. Модель – это абстрактная или материально реализованная система, являющаяся упрощенной копией исследуемой реальной системы.

При этом модель должна обеспечивать достаточно простое математическое описание и иметь область применимости, в которой свойства модели с заданной точностью совпадают со свойствами реальной системы. Модель тем лучше, чем шире ее область применения и чем проще ее описание. Метод исследования явлений и процессов их протекания в различных системах, основанный на построении и изучении их моделей, называют моделированием.

В настоящее время моделирование является научным методом глубокого исследования и познания сущности явления и объектов. Например, с использованием модели материальной точки и модели абсолютно твердого тела описана почти вся теоретическая механика. Основные квантово- механические системы, состоящие из протонов и нейтронов, которые в ядре связываются внутренними силами ядерного взаимодействия. Между протонами существуют так же силы электромагнитного взаимодействия. Над выяснением устройства ядра и законов ядерного взаимодействия упорно работают физики всего мирра, начиная с 1932г. В настоящее время существует семь моделей атомного ядра: капельная, частичная, обобщенная, оптическая, протонно - нейтронная, Ферми – газовая и ядерных оболочек. Каждая из этих моделей объясняет вполне определенные экспериментальные факты. Но так как никакая простая модель не может передать всех свойств столь сложной квантово – механической системы, какой является ядро, поэтому ни одну модель нельзя канонизировать. Тот факт, что вместо единой последовательной теории атомного ядра существуют различные модели ядер, каждая из которых применима к органическому кругу явлений, показывает, какой объем исследований еще остается впереди в этой области. Конкретно с соответствующими физическими и другими видами моделей нам предстоит познакомиться в процессе изучения медицинской и биологической физики.

Виды моделей.

В биологии и в медицине объектом исследования является живой организм, представляющий собой весьма сложную систему, в которой имеют место физические, химические, физико – химические и биологические процессы. для исследования столь широкого круга явлений в различных системах организма могут использоваться самые различные виды моделей.

В настоящее время в биологии и медицине широко используются следующие виды моделей:

1. Геометрические модели – это упрощенные копии оригиналов. К геометрическим моделям относятся муляжи, которые используются при изучении анатомии, биологии, физиологии и других наук. Геометрические модели автомашин, железных дорог, зданий и различных животных широко используются с познавательной и развлекательной целью в процессе воспитания детей.

2. Биологические модели используются для изучения общих биологических закономерностей действия различных препаратов и методов лечения. К биологическим моделям относятся лабораторные животные, изолированные органы, культуры клеток. Этот вид моделирования самый древний и широко распространен в науке. Развитие моделирования позволило, например, с использованием жидкостно – мозаической модели биологической мембраны выяснить многие аспекты по переносу ионов в клетку и из клетки, понять процесс образования мембранного потенциала и механизм возникновения потенциала действия. Модель Франка и модель Ростона, предложенные для кровеносной системы, позволили описать характер движения крови по сосудистой системе, давления крови и объемной скорости кровотока. Поэтому биологические модели представляют большой интерес для биологии, физиологии, фармакологии и генетики.

3. Физические модели – это физические системы или устройства, которые облают свойствами, аналогичными с моделируемым объектом. Физическая модель может реализовываться в виде электрического или механического устройства с использованием соответствующих критериев подобия для рассматриваемой реальной системы.

Несмотря на сложность и взаимосвязь различных процессов, протекающих в организме человека, часто среди них можно выделить процессы, близкие к физическим. Например, такой сложный физиологический процесс, как кровообращение, в своей основе является физическим, так как связан с течением жидкости, характер и законы движения которой описаны в разделе «гидродинамика». Физическим по своей сути являются и такие процессы как, например, распространение упругих колебаний по сосудистой системе, механическая работа сердца, генерация биопотенциалов и т. п. Отсюда следует важность использования физических моделей для выяснения характера протекания физиологических процессов и установления биологических закономерностей.

4.Кибернетические модели – это, как правило, электронные устройства, с использованием которых осуществляется обработка информации и управление некоторыми процессами в живом организме.

Кибернетические модели широко используются в биологической кибернетике, в которой изучается организация и управление в биологических системах на основе восприятия, передачи и переработки информации. Основными направлениями в биокибернетике являются физиологическая кибернетика и нейрокибернетика.

Биологическая кибернетика тесно связана с медицинской кибернетикой, т. е. направлением кибернетики, в котором изучаются проблемы организации и управления в медицине и здравоохранении.

В медицинской кибернетике обычно выделяются следующие основные разделы:

- медико – биологический, изучающий структурную и функциональную организацию элементов и систем организма человека в норме и при патологии.

- клинический, изучающий пути и способы совершенствования процессов диагностики и лечения.

- организация системы медицинского обслуживания, в котором рассматриваются автоматизированные системы управления (АСУ) и возможности их применения и использования для организации здравоохранения. В области медицинской кибернетики и биокибернетики имеют место и другие виды моделей.

5. Математическая модель – это приближенное описание какого – либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Математическое моделирование используется для исследования физических, химических, биологических и других систем в условиях, которые невозможно создать при эксперименте в клинике или в лабораторных условиях. При этом значительно уменьшается время исследования за счет использования ЭВМ.

4.3.Основные этапы математического моделирования.

Математическое моделирование является мощным методом познания внешнего мира, прогнозирования и управления. Метод математического моделирования позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математического моделирования, т. е. изучение явления с помощью математической модели, в своей основе содержит четыре этапа.

Первый этап – это формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах, сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

Второй этап представляет собой исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений).

На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника – мощное средство для получений количественной выходной информации как результат решения сложных математических задач.

Третий этап ставит целью выяснение следующего факта: удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т. е. выяснению вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений, и решается вопрос о принятии или непринятии модели. Модель не может быть принята, если уклонения выходят за пределы точности наблюдений.

Четвертый этап – это последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели.

В процессе развития науки, техники данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании принятой математической модели, не соответствует нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели. На рис. 4.1. показана блок – схема автоматизированной системы построения математической модели биосистемы. С использованием ЭВМ сравниваются выходные параметры биосистемы и математической модели, результаты сравнения обрабатываются в соответствии с введенными в ЭВМ критериями синтеза. ЭВМ выдает обобщенную информацию исследователю, с использованием которой он проводит коррекцию в процедуру, исследования биосистемы и построения математической модели. Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении математической модели, является модель солнечной системы, которая в процессе своего развития прошла через ряд последовательных усовершенствований. В результате геоцентрическая модель Птолемея (2 в. н. э.) была отвергнута и принята гелиоцентрическая модель Коперника (1543г.), с последующими многочисленными уточнениями другими учеными. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет решать сложные задачи науки и техники.

Вывод информации

Выходные

параметры

модели ЭВМ

сравне-ние	обра-ботка, синтез
биосистема

 

Входные

Исследова-тель

параметры

биосистемы

 

Рис. 4.1. Блок – схема автоматизированной системы моделирования.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

ЗАНЯТИЕ № 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

§ 1.1 БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНЫ.

Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов обширной области высшей математики, называемой анализом бесконечно малых величин. Главная заслуга в открытии дифференциального исчисления принадлежит английскому математику, физику и астроному Исааку Ньютону (1643 – 1727) и немецкому философу и математику Готфриду Лейбницу ( 1

Ньютон сделал свое открытие, работая в области механики. Основной задачей. приведшей его к этому открытию, была задача о нахождении закона изменения скорости любого движения по данному закону (уравнению) этого движения.

Лейбниц подошел к открытию дифференциального исчисления в поисках общего метода построения касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.

Знание основ дифференциального исчисления – одного из самых существенных разделов высшей математики – для техники и науки просто необходимо.

Теория пределов является вводной частью дифференциального исчисления.

Известно, что переменной называется такая величина, которая в рассматриваемом процессе принимает различные значения.

Математический анализ изучает переменные величины. Переменные величины можно разделить на две группы: одни изменяются произвольно – их называют независимыми переменными или аргументами, а изменение вторых зависит от изменения первых – их называют зависимыми переменными, или функциями. Например, радиус R окружности и ее длина - это переменные величины, они могут принимать различные значения. Однако, выбрав R произвольным образом, для получаем уже вполне конкретное значение, = 2, то есть R меняется независимо – это независимая переменная (аргумент), а изменяется в зависимости от R –это зависимая переменная; при этом говорят, что есть функция от R.

В науке, именующейся анализом бесконечно малых величин, исключительно важное значение имеют переменные величины, изменяющиеся так, что по абсолютной величине они становятся и в дальнейшем остаются меньше любого наперед заданного положительного числа, как бы мало это число ни было. Переменные величины, обладающие таким свойством, принято называть бесконечно малыми. Познакомимся с характером изменения этих переменных величин на примерах.

Возьмем переменную ординату точки M (x, y) (Рис.1.1), перемещающейся по равносторонней гиперболе y= 1/x вправо от оси 0у.

Положим, что абсцисса ее последовательно принимает значения

х =1;2;3;4;5;…;n;…; тогда ордината последовательно будут принимать значения

y = ; ; ; ; ;…; ;…

y

M (x, y)

0 x

M1 (x, y)

Рис.1.1

По мере увеличения х ( удаления точки от оси Оу вправо) ордината у убывает, приближаясь к нулю. При х, неограниченно возрастающем, ордината у, убывая, становится и в дальнейшем остаётся меньше любого наперед заданного положительного числа, как бы мало оно ни было. Положим, таким числом является * = 0,0001. Уже при х = 1001 получим [y]= 1/1001 < . При значениях х> 1001, значения у, очевидно, будут убывать, оставаясь меньше заданного числа . Допустим, теперь, что точка M1 (х, у), перемещаясь по этой гиперболе, удаляется от оси Оу влево. Тогда переменная ордината у последовательно будет принимать значения

Y= -; -; -; …; -;…; -;…

При неограниченном удалении точки М1(х, у) от оси Оу влево абсолютная величина у делается меньше и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного числа . как бы ни было мало это число. Следовательно, ордината у точки М является величиной бесконечно малой при неограниченном увеличении абсолютного значения х.

Допустим, что точка М перемещается по оси Ох вправо от начала координат. При этом абсцисса х будет возрастать и притом так, что неизбежно наступит момент, когда она станет и в дальнейшем будет оставаться больше любого наперед заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было. В этом случае говорят, что переменная величина х является положительной бесконечно большой величиной и стремится к + ∞.

Пусть теперь точка М перемещается по той же оси влево от начала координат. При этом абсцисса этой точки х будет принимать отрицательные значения, возрастающие по абсолютной величине. Как бы велико ни было произвольное и наперед нами взятое положительное число N, наступит момент, когда абсолютная величина переменной абсциссы |x| станет и в дальнейшем будет оставаться больше числа N. В этом случае говорят, что переменная величина х является отрицательной бесконечно большой величиной и стремиться к -∞.