Основы высшей математики и математической статистики (стр. 12 )

что и требовалось доказать.

Обобщая теорему сложения вероятностей на произвольное число собы­тий (как показывает анализ), придем к результату:

(2.7 a)

Теорема: вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий, т. е.

(2.8)

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

(2.9)

Доказательство. Поскольку события А1,А2,А3,...,Ап образуют пол­ную группу, то появление хотя бы одного из них - событие достоверное, сле­довательно, Р( А1,А2, А3,..., Ап )=1

Поскольку А1,А2,А3,...,Ап являются несовместимыми, то к ним примени­ма теорема сложения вероятностей, поэтому можно записать:

отсюда

(2.9a)

Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна еди­нице, т. е.

Р(А) + Р()=1. (2.10)

Рассматриваемое следствие есть частный случай следствия 1. Это следст­вие выделено особо ввиду значительной его важности в практическом приме­нении теории вероятностей. На практике часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность события А. Из уравнения (10) следует, что

(2.11)

Теорема умножения вероятностей.

Произведением событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее в появлении обоих событий А и В. Например, пусть при бросании двух монет появление герба на первой монете - событие А, появление герба на второй монете - событие В; тогда появление гербов на обеих монетах - произведение .

Теорема: вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух независимых простых событий, равна произведению вероятностей этих про­стых событий, т. е.

(2.12)

Доказательство. Поскольку события А и В независимы, то из т1 случа­ев благоприятствующих событию А из п1 возможных может совпасть с лю­бым из т2 случаев, благоприятствующих событию В из п2 возможных. Сле­довательно, число случаев, благоприятствующих наступлению обоих собы­тий, составляет т1 и т2 из п1 и п2 возможных. Таким образом, вероят­ность появления обоих событий можно представить:

(2.13)

что и требовалось доказать.

Распространяя эти же рассуждения на несколько независимых событий, теорему умножения вероятностей можно высказать следующим образом: ве­роятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей, т. е.

(2.14)

Условная вероятность.

Предположим, что событие А может осуществляться m1 раз, событие В -т2 раз, а событие () - k раз. При этом полное число исходов равно n.

Тогда

или

(2.15)

Из m1 случаев, в которых происходило событие А, в относительной доле случаев, равной , происходило также и событие В. Таким образом, есть вероятность события В при условии, что произошло событие А. Эта вероятность записывается в виде Р (В/А) и называется условной вероят­ностью события В при условии, что произошло событие А.

Теорема: вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых между собой событий, равна произведению вероятности одного из простых событий на условную вероятность другого в предположении, что первое событие имело место, т. е. как это следует из уравнения(2.15)

(2.16)

 

Рис. 2.1

На языке теории множеств имеем (рис. 2.1): , следовательно, Р(АВ) Р(А).

Величина, на которую нужно умножить меру множества А, чтобы полу­чить меру заштрихованного множества АВ, есть новая мера, называе­мая Р (В/А). Из уравнения (2.16) следует:

(2.17)

Уравнение (2.17) можно использовать для практического вычисления условной вероятности.

Формула полной вероятности.

Следствием теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения ве­роятностей является формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет определить вероятность события А, которое может произойти с одним из событий Н1,Н2,Н3,...,Нп, образующих полную группу событий:

(2.18)

Формула (2.18) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Hl,H2,H3,...,Hn, образующих полную группу несовместимых событий, и которые мы будем называть гипотезами. Так как гипотезы Н1, Н2, Н3,..., Нп образуют пол­ную группу, следовательно событие А может произойти только в комбинации с какой-либо из указанных гипотез, т. е.

А = Н1А + Н 2А + Н 3А + ... + HnA (2.19)

Поскольку гипотезы Hl,H2,H3,...,Hn несовместимы, то и комбина­ции, Н{А + Н2А + Н3А + ... + НпА - несовместимы. Применяя к ним теорему сложения вероятностей, получим:

(2.20)

Применяя к событию HiA теорему умножения вероятностей, придем к результату:

(2.21)

что и требовалось доказать.

§ 2.3. ФОРМУЛА БАЙЕСА (теорема гипотез)

Следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной веро­ятности является формула Байеса или теорема гипотез.

Формула Байеса позволяет найти условную вероятность Р (Н/А) для каждой гипотезы в связи с появлением события А:

(2.22)

где i= 1,2,3, ...п.

Формула (2.22) носит название формулы Байеса (теорема гипотез). За­дача заключается в следующем: имеется полная группа несовместимых гипо­тез Н1,Н2,H3,...,Нп. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соот­ветственно равны: P(H1), Р(Н2), Р(Н3),...,Р(Hn).

Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некото­рого события А. Следует определить вероятности гипотез в связи с появлени­ем события А. По существу здесь идет речь об определении условной вероят­ности Р(Нi) для каждой из гипотез. Используя теорему умножения вероят­ностей, можно записать:

где i= 1, 2,3, ...,n.

Отбросив левую часть в указанном выше уравнении, получим:

отсюда

Выражая Р(А) с помощью формулы (2.21) полной вероятности, придем к результату:

(2.22a)

Формула (2.22а) носит название формулы Байеса (теоремы гипотез).

§ 2.4. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

В разнообразных практических вопросах приходится сталкиваться с во­просами повторения испытаний: испытания на надежность, проверка свойств каких-либо изделий, повторение наблюдения за некоторыми явлениями и т. д. Особый интерес представляет задача, суть которой заключается в следую­щем: производится два независимых испытаний, в каждом из которых собы­тие А может появиться с вероятностью р. Необходимо найти вероятность то­го, что событие А наступит п раз в т испытаниях.

Заметим сначала, что в каждом испытании нас интересуют два исхода - наступление и не наступление события А (т. е. «успех» и «неудача»). Вероят­ность наступления события А в определенном испытании равна р = 1 - q.

Вероятность того, что событие А наступит при определенных п испыта­ниях, а при остальных т-п (также определенных) не наступит, в силу теоре­мы умножения вероятностей равна

Но событие А может произойти при любых n из m возможных испыта­ний. Число всех различных выборов n элементов из m равно .

Поэтому в силу теоремы сложения вероятностей, искомая вероятность, которую мы станем обозначать символом равна:

(2.23)

Формула (2.23) носит название формулы Бернулли, названная в честь ее первооткрывателя, швейцарского математика Якова Бернулли (1Из формулы (2.23) следует, что вероятность того, что событие А произойдет во всех n испытаниях, определяется уравнением:

а вероятность того, что событие А не произойдет ни разу определяется формулой:

Во многих случаях число испытаний бывает очень большим. Например, число рождений детей в городе, крае, стране за год. Формула Бернулли, не­смотря на всю ее простоту, в этом случае становится громоздкой для исполь­зования, и желательно найти ей замену, которая позволила бы упростить вы­числения. Пусть для примера т = 4 р = 0,5 и п = 2000000. Вычисление величины

представляет собой значительные трудности. В теории вероятностей предложены хорошие приближенные формулы. В том случае, когда р мало, действует приближенная формула Пуассона

(2.24)

где т = 0, 1,2...

Если же р и q не малы, то следует пользоваться формулой Муавра-

Лапласа

(2.25)

§2.5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ГЕНЕТИКЕ.

Экспериментальные исследования, проведенные австрийским монахом Г. Менделем, позволили обнаружить ряд характерных закономерностей при скрещивании различных сортов гороха. Эти закономерности объясняются посредством применения теорем теории вероятностей. Важность закономер­ностей заключается в том, что они лежат в основе теории наследственности в целом, т. е. в основе генетики. Схема применения теории вероятности в генетике зависит от специальных носителей, называемых генами. Все клетки тела живого организма, кроме половых клеток, несут один и тот же набор генов, которые представляют собой участки хромосом, входящие в обычные клетки попарно, и, соответственно, гены входят попарно, располагаясь в со­ответствующих хромосомах. В простейших случаях каждый ген отдельной пары может находиться в одной из двух форм - аллелей, обозначаемых ин­дексами А и а. Соответственно, организм может иметь (по отношению к дан­ному гену) три так называемых генотипа: АА, Аа и аа. Первый и третий на­зываются гомозиготными, второй - гетерозиготным.

Имеются признаки, которые определяются одной парой генов, и имеются признаки, определяемые несколькими парами генов. Рассмотрим простейший случай, когда признак определяется одной парой генов. Половые клетки (га­меты) содержат только по одному гену каждой пары. Гомозиготные особи производят гаметы только одного вида, а гетерозиготные особи генотипа Аа производят в равном количестве гаметы с генами А и а. новый организм раз­вивается из двух родительских гамет, от которых он и получает гены. Окра­ска цветов гороха определяется одним геном, имеющим две формы А и а. Горох генотипа АА имеет красную окраску цветов, генотип аа определяет белую окраску, генотип Аа - розовую. Положим, поле засеяно смесью гороха, имеющего окраску цветов красного, розового и белого цвета, встречающихся с частотами которые мы будем отождествлять с вероятностями Ро, 2Р1, Р2 ввиду большого числа засеваемых горошин. При этом

Р0+2Р1+Р2=1

Тогда вероятность скрещиваний можно свести в таблицу 1.

Таблица 1.

	AA	Aa	aa
AA
Aa
aa

Можно было бы применить теорему умножения вероятностей, ибо пары, участвующие в скрещивании, независимы. Каждая клетка таблицы, в свою очередь, разбивается на четыре клетки с одинаковыми вероятностями, в зави­симости от возможных комбинаций гамет. Сведем эти возможные случайно­сти в таблицу 2. Вероятности каждой из 36 возможностей известны. Теперь, пользуясь теоремой сложения вероятностей, находим комбинации АА, Аа, аа. Вероятность комбинации АА:

Вероятность комбинации Аа:

Вероятность комбинации аа:

Таблица 2

АА	АА	АА	Аа	Аа	Аа
АА	АА	АА	Аа	Аа	Аа
АА	АА	АА	Аа	Аа	Аа
Аа	Аа	Аа	аа	аа	аа
Аа	Аа	Аа	аа	аа	аа
Аа	Аа	Аа	аа	аа	аа

В частности, если засеять горох с красными и белыми цветами, т. е. взять , то гороха с красными цветами получится розового белого Если взять посев с частотами (вероятностью):

для генотипов АА, Аа, аа, то в следующем поколении частоты остаются без изменений. Действительно,

т. к.

Тогда

соответственно,

Как говорят, уже в первом поколении возникает устойчивая популяция. Иногда один вид А гена доминирует над другим а. Это значит, что организм с генотипом Аа не отличается от организма с генотипом АА по отношению к признаку, определяемому рассматриваемым геном. Так зеленый цвет семян гороха доминирует над желтым. Если посеять горох генотипов АА и аа по­ровну, то гороха следующего поколения будет иметь зеленые семена и -желтые (генотипа аа).

Рассмотрим случай, когда засеяно поле только семенами зеленого цвета генотипов АА и Аа, т. е. в нашей общей схеме

Р2=0, Р0+2Р1=1

Тогда в следующем поколении частота генотипа АА будет равна P1=(P0+P1)2, вероятность генотипа Аа равна 2P1=2P1(P0+P1), соответственно, вероятность генотипа аа (гороха с желтыми семенами) равна . Таким образом, в последнем поколении окажется некоторое количество гороха с желтыми семенами, хотя такие семена не были посеяны. Доля гороха геноти­па АА несколько увеличивается сравнительно с исходной:

Исключая при последующем посеве горох с желтыми семенами, тем са­мым увеличивается преобладание гомозиготных особей над гетерозиготны­ми:

и т. д.

Таким образом, исключенные из процесса размножения особи, обладающие рецессивным* признаком, приводят к тому, что от поколения к поколению возрастает преобладание гомозиготных особей АА над гетерозиготными.

Выше рассмотрены простейшие примеры применения теории вероятно­стей к вопросам генетики. Однако, по той же схеме, но со значительными техническими усложнениями можно рассматривать и более сложные случаи, например, когда ген имеет больше двух аллелей, когда признак связан с не­сколькими генами и так далее.

 

*Рецессивность - от лат. recessus - отступление, форма взаимоотношений двух аллельных генов, при которой один из них - рецессивный - оказывает менее сильное влияние на соответствующие признаки особи, чем другой - доминантный.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Задача №1. В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Из неё вынима­ется наугад 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие, состоящее в появлении белого шара, обозначим через А. Общее число случаев, благоприятствующих событию А, т. е. m = 3. Имеем:

Ответ: вероятность появления белого шара Р (А) = 3/5.

Задача №2. В урне находится 10 белых и 6 черных шаров. Из урны нау­дачу вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в появлении 2 белых шаров. Общее число возможных случаев n, найдем по формуле числа сочета­ний из общего числа шаров, которых в урне 16, по два, т. е.

Определим число случаев m, благоприятствующих событию А:

Искомая вероятность двух белых шаров определяется равенством:

Ответ: вероятность появления двух белых Р (А) = 3/8.

Задача №3. На отдельных карточках написаны буквы а, р, к, у, ч. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последова­тельно рядом. Найти вероятность того, что получится слово «ручка».

Решение. Число всех возможных исходов испытания, т. е. n, равно в дан­ном случае числу перестановок из 5 букв: n = Р5= 5! = 12345 = 120.

Из всех перестановок только одна образует слово «ручка», поэтому m = 1. Следовательно, искомая вероятность А будет определяться равенством:

Ответ: вероятность появления слова «ручка» равна 0,008.

Задача №4. В урне лежат шары: 10 белых, 15 черных, 20 голубых и 25 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар ока­жется белым? черным? голубым? красным? И еще: черный или голубой? го­лубой или красный? белый, черный и голубой?

Решение. Число всех возможных испытаний =10+15 +20 + 25 = 70.

Вероятность

Применяем теорему сложения вероятностей, находим:

Р (б + ч) = Р (б) + Р (ч) = 1/7+3/14=5/14,

Р (г + к) = Р (г) + Р (к) = 2/7+5/14=9/14,

Р (б + ч + г) = Р (б) + Р (ч) + Р (г) = 1/7+3/14+2/7=9/14,

или Р (б + ч + г) = I - Р (к) = I - 5/14=9/14.

Ответ: вероятность появления белого шара равна I / 7, черного - 3/14, голубого - 2/7, красного - 5/14, белого или черного - 5/14, голубого или крас­ного - 9/14, белого или черного или голубого - 9/14.

Задача №5. Медицинская сестра обслуживает в палате четырех больных. Вероятность того, что в течение часа первый больной потребует внимания сестры Р(А) = 0,2; второй - Р(В) = 0,3; третий - Р(С) = 0,25; четвертый P(D) = 0,1. Найдите вероятность того, что в течение часа все больные потребуют к себе внимания сестры.

Решение. Считая требования больных независимыми друг от друга, по теореме умножения находим, что искомая вероятность

или

Ответ: вероятность того, что четыре больных в течение часа потребуют внимания медсестры Р (А) = 0,015.

Задача №6. В партии из 50 шприцев разового пользования 5 бракован­ных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 30 шприцев не бо­лее одного бракованного?

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что 30 изделий выборки - качественные. Событие В-в рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно бракованное. Событие С - не более одного бракованного. Тогда, очевидно, С = А + В. Так как событие А и В несовместимы, то по теореме сложения вероятностей имеем: