Основы высшей математики и математической статистики (стр. 13 )

Р (С) = Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Поскольку вероятности событий А и В будут определяться выражениями

и

или

;

зо 50

тогда Р(С) 0,007 + 0,065 = 0,072.

Ответ: вероятность того, что из 30 отобранных шприцев один будет ис­порчен, равна 0,072.

Задача №7. В урне имеется 7 белых и 5 черных шаров, отличающиеся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают не глядя один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара черные?

Решение. Появление первого черного шара (событие А) имеет, очевидно,

вероятность

Если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В -появление второго черного шара (при условии, что первый шар был черным) равна: Р(В/А)=4/11, т. к. перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность вынуть два черных шара подряд можно опре­делить по теореме умножения для зависимых событий — формула (16), т. е.

Ответ: вероятность того, что оба шара будут мерными равна 5/33.

Задача №8. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне нахо­дятся два белых и один черный шар, во второй - три белых и один черный шар, в третьей - один белый и один чёрный. Некто выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы: Н1 - выбор первой урны, Н2 -выбор второй урны, Н3 - выбор третьей урны и событие А - появление бе­лого шара. Так как гипотезы (по условию задачи) равновозможны, то Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Р(А/Н1)=2/3, Р(А/Н2)=3/4, Р(А/Н3)=1/2.

По формуле полной вероятности находим:

Ответ: вероятность того, что шар будет белым Р (А) =23/36.

Задача №9. Генератор УВЧ может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если генератор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Генера­тор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероят­ность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы: Н1 - прибор собран из высококаче­ственных деталей, Н2 - прибор собран из деталей обычного качества. Веро­ятность этих гипотез до опыта: Р(Н1) = 0,4; Р(Н2) = 0,6. В результате опы­та наблюдается событие А - прибор работал безотказно в течение времени t. Условная вероятность этого события при гипотезах Н1 и Н2 равны:

Р(А/Н1 )=0,95; Р(А/Н2 )=0,7

Используя формулу Байеса, находим:

Ответ: вероятность того, что генератор собран из высококачественных деталей равна 0,475

Задача № 10. Вероятность изготовления нестандартного разового шпри­ца равна 0,05. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу шприцев 4 будут стандартные.

Решение. Вероятность того, что наудачу взятые шприцы будут стандарт­ные, есть р. Очевидно, р= 1 - 0,05 = 0,95, тогда q = 1 — р = 1 - 0,95 = 0,05.

Учитывая, что m = 5, а n = 4, используя формулу Бернулли, получим: или

Ответ: вероятность того, что из 5 взятых шприцев 4 будут стандартные = 0,2036

УПРАЖНЕНИЯ

№1. На книжной полке в случайном порядке стоит энциклопедический справочник, состоящий из 5 томов. Какова вероятность того, что хотя бы один из томов этого справочника стоит не на своем месте?

Ответ: 119/120

№2. Среди 17 студентов, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 4 девушки.

Ответ:

№3. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами бо­лезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим группам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с ве­роятностью 0, 1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных?

Ответ: 300.

№4. Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некоторый дом оценивается вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что из 5 вызовов вра­ча 2 вызова будут в указанный дом.

Ответ: 0,336.

№5. При обследовании пациентов в результате измерения артериального давления врач должен поднять давление в сфигмоманометре до 220 мм рт. ст. В результате наличия слабых мест в манометре, манжете и в выпускном кла­пане сфигмоманометр при первом подъеме давления может выйти из строя с вероятностью 0,4; при втором - с вероятностью 0,5 и при третьем - 0,7. Для вывода сфигмоманометра из строя заведомо известно, что достаточно трех поднятий давления до указанного предела. При измерении давления у перво­го пациента сфигмоманометр выходит из строя с вероятностью 0,2, при одно­кратном поднятии давления. У второго пациента с вероятностью 0,6 при двухкратном поднятии давления. Найти вероятность того, что сфигмомано­метр выйдет из строя при измерении давления у третьего пациента в резуль­тате трехкратного поднятия давления до указанного предела.

Ответ: 0,458.

№6. Два студента независимо один от другого должны определить кон­центрацию сахара в биологической жидкости с помощью рефрактометра. На выполнение этого задания каждый из них получил по одному допуску. Веро­ятность провести исследование у первого студента равна 0,8, для второго -0,4. Преподаватель зарегистрировал один приход. Найти вероятность того, что исследование провел первый студент.

Ответ: 6/7.

№7. Студент Петров знает не все экзаменационные билеты. Что для него выгоднее: отвечать первым или вторым? Число билетов 30, из них Петров

знает 25.

Ответ: подумайте!

№8. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в 6 про­бах данная колония микроорганизмов появится четыре раза.

ЗАНЯТИЕ № 3

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

§ 3.1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

В теории вероятностей и в математической статистике приходится опе­рировать представлением о случайной величине, которая является одним из основных понятий в указанных разделах математики. Величина, которая в результате опыта может принимать различные числовые значения с опреде­ленной вероятностью, называется случайной.

Примерами случайных величин являются:

-  число студентов, присутствующих на лекции;

-  число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки;

-  число детей, родившихся в городе за прошедшие сутки, и другие слу­чайные величины.

Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут прини­мать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечис­лить. Эти значения: 0,1,2,3 ...

Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга (изолированные значения, которые заранее можно перечислить), называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого вида, например:

- вес наугад взятого зерна пшеницы;

- температура человека, болеющего гриппом;

- давление атмосферы на заданном уровне;

- количество энергии, выделяемое биологическим объектом за сутки и

т. д.

Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от дру­га. Они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда име­ет резко выраженные границы, но чаще - неопределенные, расплывчатые гра­ницы.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно запол­няют некоторый промежуток, называют непрерывными случайными вели­чинами.

Можно сказать, что случайные величины, которые принимают непрерыв­ный ряд значений, называются непрерывными. Совокупность непрерывных величин образует собой непрерывное множество или континуум. Изучая про­цессы, связанные со случайными явлениями, приходится встречаться и с так называемыми случайными величинами. Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса студенту приходится измерять микрометром ди­аметр шарика в различных диаметральных точках и при этом получать ре­зультаты в виде следующих цифр: 2,85; 2,90; 2.79; 2,81 ... в силу, например, неабсолютной сферичности шарика. Результаты измерений можно считать значениями случайной величины, с вероятностями соответственно Р1, Р2, Р3,Р4… Для задания случайной величины нужно указать не только ее возмож­ное значение, но и вероятность, с которой она их принимает. Разнообразие случайных величин очень велико хотя бы потому, что множество принимае­мых ими значений может быть конечным, счетным, т. е. таким, что все значе­ния можно перенумеровать с помощью последовательных целых чисел, за­полняющих целый отрезок, интервал и т. д.

Для того чтобы задавать случайные величины, и притом задавать их еди­ным способом, в теории вероятностей введено понятие функции распределе­ния. Вероятность появления случайной величины в малом интервале значе­ний последней от х до х + х зависит от выбранного значения х, т. е. она есть функция f(x). Чем шире интервал х, тем вероятность будет больше, так как с увеличением ширины интервала пропорционально возрастает и возможность появления события величины х. Следовательно, вероятность может быть представлена как f(x) x. Переходя к пределу, когда х 0, мы можем пред­ставить вероятность dP появления события случайной величины в интервале от х до x+dx в виде:

(3.1)

отсюда

(3.2)

Из уравнения (3.2) видно, что функция f(x) имеет смысл вероятности, от­несенной к единичному интервалу. Из физических соображений функцию f(x) часто называют плотностью вероятности или статистическим весом.

Вероятность появления случайной величины в определенном объеме пространства, т. е. когда последняя может быть заключена в интервалах, например, декартовой системы координат, от х до x+dx, от у до y+dy, от z до z+dz соответственно, будет определяться выражением:

dP=f(x, y,z)dx dy dz (3.3)

Поскольку элементарный объем dv=dx dy dz, следовательно, уравнениe (3.3.) можно представить в виде:

v (3.4)

отсюда

(3.5)

Из выражения (5) следует, что функция f(x, у, z) имеет смысл вероятности отнесенной к единице объема, т. е. смысловая нагрузка
плотности вероятности может несколько меняться в зависимости от
поставленной задачи. Иногда функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величин Х.

f(x)

а) б)

 

x

Рис. 3.1.

Термины "плотность распределения", "плотность вероятности" становят­ся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения. В этой интерпретации функция f(x) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс, так называемую "линейную плотность". Кривая, изображающая плотность распределения случайной ве­личины, называется кривой распределения (рис. 3.1, а). Величина f(x)dx на­зывается элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элемен­тарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 3.1, б). Вероят­ность попадания величины X на отрезок от А до В равна сумме элементов вероятности на всем этом участке (рис. 3.1, б), т. е. интегралу

(3.6)

введем обозначение:

(3.7)

Формула (3.7) выражает плотность распределения через функцию рас­пределения F(x) случайной величины X:

(3.8)

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Из уравнения (3.8) следует, что интегральная функция распределения F(x) определяет для каж­дого значения х вероятность того, что случайная величина X принимает зна­чение меньше х. Выразим функцию распределения через плотность вероятно­сти:

(3.9)

Геометрически F(x) есть ни что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 3.1 б). Функция распределения F(x) как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распреде­ления f(x), как это видно из выражений (3.2) и (3.5), обратна размерности слу­чайной величины. Необходимо отметить, что в основном задача статистики сводится к отысканию статистического распределения той или иной случай­ной величины. По мере изучения математической статистики все в большей мере должна выясняться задача нахождения распределения для достаточно широкого круга систем.

Условие нормировки. Пусть дискретная случайная величина может иметь ряд различных значений А1, А2, ...An, которые появляются с вероят­ностями Р1, Р2, ... Рn. Тогда по аксиоме объединения вероятностей появление любого (безразлично какого) значения, из указанных выше, равна сумме всей вероятности, т. е. достоверности. Следовательно,

(3.10)

Выражение (3.10) носит название условия нормировки. Если дискрет­ная величина может принимать счетное множество значений с различными вероятностями при бесконечном числе испытаний, то условие нормировки принимает вид:

(3.11)

Для непрерывной величины условия нормировки изменяются. Вероят­ность появления случайной величины в малом интервале значений координа­ты х - определяется уравнением (3.1). Если случайная величина лежит в ин­тервале от: x1 до х2, то условие нормировки, как предел суммы всех вероятно­стей, когда dP 0, может быть представлено интегралом:

(3.12)

Когда случайная величина изменяется в бесконечных пределах, то усло­вие нормировки примет вид:

(3.12a)

Во всех рассмотренных случаях условие нормировки напоминает нам, что сумма всех вероятностей всегда равна единице.

Свойства интегральной функции распределения.

1.Функция F(x) есть неубывающая функция своего аргумента х ,т. е.

2.На концах интервала возможных значений х функция F(x) принимает
значения 0 и 1, например, если концы интервала а и b (а < b), то

F(a) = 0, F(b)=l;

Заметим, что функция распределения F(x) является непрерывной и диф­ференцируемой только в случае если х будет непрерывной случайной ве­личиной.

Свойства дифференциальной функции распределения.

1.Функция f(х) неотрицательна, т. е.f(х) 0.

2.Площадь под кривой f(x) равна единице, т. е.

3. Определение F(x) через f(x):

§ 3.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, а указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероят­ностной точки зрения.

Во многих практических вопросах нет необходимости характеризовать случайную величину досконально, а достаточно бывает указать только от­дельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие суще­ственные черты распределения случайной величины. Например, среднее зна­чение, около которого группируются возможные значения случайной вели­чины, и какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего.

Характеристики, назначение которых заключается в том, чтобы с их ис­пользованием выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величи­ны.

Характеристики положения.

Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на чи­словой оси, т. е. указывают некоторое среднее, около которого группируются все возможные значения случайной величины. К таким характеристикам от­носятся математическое ожидание, мода и медиана.

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль иг­рает математическое ожидание случайной величины, которое иногда назы­вают просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискрет­ную случайную величину X, имеющую возможные значения веро­ятности которых равны Pl, P2...Рn. Для определения характеристики точки положения воспользуемся так называемым "средним взвешенным" из значе­ний xi причем каждое значение хi при осреднении должно учитываться с "ве­сом", пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, сред­нее значение случайной величины X, которое обозначим символом M[X], будет определяться выражением:

(3.13)

т. к. следовательно,

Выражение (3.13) и называется математическим ожиданием случайной величины (центр распределения случайной величины). Таким образом, мате­матическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значе­ний. Допустим, что при большом количестве п испытаний дискретная слу­чайная величина X принимает значения соответственно раз. Тогда среднее значение случайной величины можно определить сле­дующей формулой:

(3.14)

Если п велико, то относительные частоты приблизительно равны вероятностям Р1, Р2, ..., Рn появления случайных величин x1, x2,..., xn, что позволяет сделать заключение: при больших значениях числа п среднее значение случайной величины мало отличается от математического ожи­дания M[X].

Между М[Х] и X такая же связь, как между математической вероятнос­тью и частотой события. Формула (3.13) для математического ожидания со­ответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной слу­чайной величины X математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом:

(3.15)

где f(х) плотность распределения величины X.

Формула (3.15) получается из формулы (3.13), если в ней заменить от­дельные значения xi непрерывно изменяющимся параметром х, соответствую­щие вероятности Pi - элементом вероятности f(x)dx, а конечную сумму - инте­гралом.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной, т. е. М[С]=С

2.Постоянный множитель к можно вынести за знак математического ожидания, т. е. M[kX]=kM[X]

3.Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т. е. M[X±Y]=M[X]±M[Y]

4.Математическое ожидание х произведения независимых случай­ных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е. M[XּY]=M[X]ּM[Y].

5.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю, т. е. М[Х-М[Х]]=0

6. Математическое ожидание числа появлений события X в п
независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании, т. е. М[Х]=nР.

f(x)

а) б)

 

M0 x

Рис. 3.2.

Кроме важнейшей из характеристик положения - математического ожи­дания, на практике применяются и другие характеристики положения слу­чайной величины, в частности мода и медиана. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Условно моду обозначают сим­волом Мо (рис. 3.2 а) и записывают следующим образом:

M0[X]=Xi(Pi max)

Термин "наиболее вероятное значение",строго говоря, приемлем только к дискретным величинам. Для непрерывных величин модой является то значение, в котором плотность вероятности достигает максимального значения. Для непрерывной случайной величины мода определяется по формуле: df(x)/ax = 0

Медианой случайной величины X называется такое ее значение Me, для которого р(ХМе)=р(Х>Ме) или F{Me[X]}=0,5, т. е. равновероятны. Геомет­рически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кри­вой распределения, делится пополам (рис.2 б). В случае симметричной кри­вой распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Медианой обычно пользуются только в том случае, когда проводится анализ непрерывных случайных величин.

Характеристики разброса.

Дисперсия (D) - это математическое ожидание квадрата отклонения слу­чайной величины от ее среднего значения:

для дискретной случайной величины

(3.16)

для непрерывной случайной величины

(3.17)

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, раз­бросанности значений случайной величины около ее математического ожи­дания. Само слово "дисперсия" означает "рассеивание". Дисперсия случай­ной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для практических целей удобнее использовать характеристику разброса, раз­мерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины X, которое обозначают [Х] или . Таким образом, стан­дартное отклонение для серии из п измерений можно представить в виде:

(3.18)

Теперь представим, что данные случайной величины набираются серия­ми по п измерений в каждой, причем число таких серий очень велико. В каж­дой серии имеется свое собственное [Х], и совокупность всех таких средних характеризуется своим распределением со среднеквадратичным отклонением т. Величину т называют среднеквадратичным отклонением среднего. Величины и <т связаны простым соотношением:

(3.19)

т. е. среднеквадратичное отклонение среднего из n измерений в меньше среднеквадратичного отклонения отдельного измерения.

Моменты. Характеристики формы.

Кроме характеристик положения, используемых в теории вероятностей и в математической статистике, употребляются и другие характеристики, кото­рые описывают то или иное свойство распределения. В качестве таких харак­теристик используются так называемые моменты.

Понятие момента широко применяется в механике для описания рас­пределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д.). Для описа­ния основных свойств распределения случайной величины используются те же приемы, что и в механике. Чаще всего на практике применяют моменты двух видов: начальные и центральные. Начальным моментом s-гo порядка дискретной случайной величины X называется сумма вида:

(3.20)

для непрерывной случайной величины

(3.21)

Отклонение случайной величины X от ее математического ожидания

XS = Х -

называют центрированной случайной величиной. Центрирование слу­чайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю (цен­тральную) точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной слу­чайной величины равно нулю:

(3.22)

Моменты центрированной случайной величины носят название цен­тральных моментов. Таким образом, центральным моментом порядка S случайной величины X называется математическое ожидание S-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

М[Х] = M[XS] = М[(х -)s]

Для дискретной случайной величины центральный момент имеет вид:

(3.23)

а для непрерывной случайной величины:

(3.24)

Таким образом, в зависимости от значения S мы получаем:

при S=l первый центральный момент Mi=0;

при S=2 второй центральный момент, который называется дисперсией случайной величины M2=D[X];

при S=3 третий центральный момент, который служит для характерис­тики асимметрии распределения, определяемый выражениями:

для дискретной случайной величины

(3.25)

для непрерывной

(3.26)

при S=4 четвертый центральный момент, используемый для характерис­тики крутизны распределения. Момент М4 вычисляют для дискретной слу­чайной величины по формуле:

(3.27)

для непрерывного распределения он равен

(3.28)

К характеристикам формы относятся:

1.Коэффициент асимметрии (Sk), который характеризует степень не­
симметричности (скошенности) распределения. Он определяется через третий центральный момент М3 по формуле:

(3.29)

Для всех симметричных распределений Sk=0. При Sk>0 мода распре­деления находится слева, а при Sk<0 - справа от математического ожидания.

2.Эксцесс(&)- служит характеристикой крутости, т. е. островершинности
или плосковершинности распределения. Его определяют через четвертый
центральный момент М4 по формуле:

(3.30)

При всех >0 распределение более острое, чем нормальное; при <0 распределение менее острое, чем нормальное.

Пример 1. Беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей состоит из одно­го выигрыша на 100 руб., 5 выигрышей по 20 руб., 10 выигрышей по 5 руб., 184 выигрыша по 2 руб. Определить справедливую цену одного билета.

Решение. Определим вероятность каждого выигрыша: вероятность выигрыша 100 руб.

вероятность выигрыша 20 руб.

вероятность выигрыша 5 руб.

вероятность выигрыша 2 руб.

Справедливая цена билета равна математическому ожиданию или среднему значению, т. е.

Подставив численные значения в последнее выражение, получим:

руб

Ответ: справедливая цена билета 3,09 руб.

Пример 2. Производится 3 независимых выстрела по мишени. Вероят­ность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина X -число попаданий. Определить характеристики величины X - математическое ожидание, дисперсию, с. к.о., асимметрию.

Решение. Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi	0	1	2	3
Pi	0,216	0,432	0,288	0,064

Вычислим числовые характеристики величины Х: