Основы высшей математики и математической статистики (стр. 15 )

Выборочные характеристики зависят от числа наблюдений, а следовательно, относятся к величинам случайным, хотя более устойчивым, чем отдельно взятые варианты. Так средняя арифметическая, вычисленная изнаблюдений, не равна средней, вычисленной из 100 или большего числа испытаний. В связи с этим возникает необходимость оценить в каждом конкретном случае, насколько точно определены средние показатели и насколько они отстоят от своего истин­ного значения, т. е. от соответствующих показателей генеральной совокупности. Этими вопросами занимался английский математик Вильям Госсет, который в 1908 году опубликовал свою работу о распределении под псевдо­нимом Стьюдент, которое в настоящее время известно как распределение Стьюдента (PC) (Рис. 4.6).

Распределение Гаусса (РГ) хорошо описывает отклонение измеряемой величины в эксперименте от истинной при большом количестве повторных измерений. На практике нередко обходятся двумя-тремя измерениями. Ре­зультаты образуют очень малую выборку. Нормальное распределение при анализе ошибок здесь уже не пригодно. В этом случае распределение Стью­дента (PC) гораздо лучше описывает получаемые результаты. На основе зна­чений xi полученных при измерении, коэффициент определят случайную величину:

(4.23)

где -доверительная вероятность, n- число измерений, - среднеквадратичная погрешность. Тогда при нормальном распределении плотность распределения вероятности выражается формулой Стьюдента:

(4.24)

где Г(х)- гамма-функция:

(4.25)

Функция - четная.

Вероятность, что измеряемая величина х попадет в заданный интервал, определяется интегралом:

Если указана вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х попадает в доверительный интервал, то по количеству измерений можно определить коэффициент Стьюдента :

(4.26)

Исходя из этого определяют погрешность

(4.27)

Результат измерений записывают в виде:

(4.28)

с указанной доверительной вероятностью и числом измерений n.

Для нахождения коэффициентов Стьюдента обычно используются таблицы, приведенные в /1.7/. В случае и /13/ рекомендует для определения следующую аппроксимацию:

(4.29)

В случае 0,95 в случае 0,99

Таким образом, по приведенным данным коэффициент Стьюдента достаточно быстро можно определить с использованием ЭВМ в автоматическом режиме. Ниже представлен вид (графический и аналитический) и числовые характеристики основных законов распределения, используемых в задачах обработки и планирования эксперимента.

а) РАВНОВЕРОЯТНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (рис. 4.7)

0 при х<a

f(x)= при

0 при х>b

f(x) f(x)

x x

 

Рис. 4.7 Равновероятный закон Рис. 4.8 Закон распределения

распределения Симпсона

б) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИМПСОНА (рис.4.8)

в) ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (рис. 4.9)

f(x) f(x)

 

x x

Рис. 4.9 Экспоненциальный закон Рис. 4.10 Закон распределения

распределения

г) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

где -функция

Примечание: если нормально распределенные независимые случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и единичными дисперсиями, то сумма квадратов этих величин распределена по закону с f=n степенями свободы. Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например: , то число степеней свободы f=n-1.

д) БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (рис.4.11)

где q- вероятность появления А в одном опыте, P(x=m)- вероятность появления события А ровно m раз в n опытах.

P(x=m)

 

x x

 

Рис. 4.11 Биноминальное Рис. 4.12 Закон распределения

распределение Пуассона

е) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА (рис. 4.12)

При большом числе испытаний n и малой вероятности q появления события А для вычисления биноминальных вероятностей можно воспользоваться формулой Пуассона, положив :

при

§4.6. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ ОПЫТОВ

Все измерения, проделанные одним методом и с одинаковой тщательностью, называются равноточечными. Для оценки точности прямых равноточечных измерений необходимо вычислить следующие критерии, перечисленные ниже:

1.  Среднее значение случайной величины (выборочное)

(1)

2.  Дисперсия

(2)

3.  Средняя квадратическая ошибка (стандартное отклонение)

(3)

4.  Среднеквадратическое отклонение среднего значения

(4)

5.  Точность прямого измерения

(5)

6.  Доверительный интервал

или

Задача № 1. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа выбитых очков.

Решение: обозначим Х число выбитых очков. Возможные значения величины Х:

Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов (уравнению Бернулли):

Ряд распределения имеет вид:

	0	5	10	15
	0,216	0,432	0,288	0,064

Многоугольник распределения имеет вид:

Pi

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

xi

Задача № 2. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. При этом были получены следующие результаты измерений (в тысячных долях радиана):

Ii	-4;-3	-3;-2	-2;-1	-1;0	0;1	1;2	2;3	3;4
mi	6	25	72	133	120	88	46	10

Здесь Ii- интервалы значений ошибки наводки; mi- число наблюдений в данном интервале.

Определить вероятность каждого интервала и построить статистический ряд и гистограмму для ошибки наводки.

Решение: Статистическая вероятность каждого интервала ошибки наводки определим выражение :

Ряд распределения имеет вид:

Ii	-4;-3	-3;-3	-2;-1	-1;0	0;1	1;2	2;3	3;4
Pi	0,012	0,050	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,020

По результатам статистического ряда гистограмма ошибки наводки будет иметь вид:

Р

 

х

 

-43

При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы, и на каждом интервале как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна статистической вероятности данного интервала, следовательно, высота прямоугольника должна равняться отношению статистической вероятности интервала к его длине. При единичной длине интервала высота прямоугольника равна численно статистической вероятности.

Задача №3. Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически в виде треугольника, показанного на рисунке. Найти выражение для плотности распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее отклонение и асимметрию распределения.

f(x)

 

x

 

0 1

Решение: выражение плотности распределения имеет вид:

Пользуясь свойством плотности распределения запишем:

отсюда

,

следовательно, а=2.

Математическое ожидание величины Х:

Дисперсию можно определить через второй начальный момент:

Так как среднее квадратичное отклонение следовательно,

Третий центральный момент М3 определим через третий и второй начальные моменты, используя уравнение:

Коэффициент асимметрии Sk определим выражением:

УПРАЖНЕНИЯ

№1. В таблице, расположенной ниже, приведены данные 1883г. о росте взрослых мужчин в сантиметрах. Пользуясь результатами таблицы, постройте статистический ряд и гистограмму распределения роста мужчин. Определить основные характеристики положения и разброса, а также доверительный интервал в сантиметрах. Коэффициент Стьюдента при надежности 0,95 принять равным 1,96.

Рост, в сантиметрах	Число мужчин данного роста
143,5-146,1	2
146,1-148,6	4
148,6-151,1	14
151,1-153,7	41
153,7-156,2	83
156,2-158,8	169
158,8-161,3	394
161,3-163,8	669
163,8-166,4	990
166,4-168,9	1221
168,9-171,5	1329
171,5-174,0	1230
174,0-176,5	1063
176,5-179,1	646
179,1-181,6	392
181,6-184,2	202
184,2-186,7	79
186,7-189,2	32
189,2-191,8	16
191,8-194,3	5
194,3-196,9	2
Всего	8585

№2. В таблице, расположенной ниже, собраны результаты наблюдений над промежутками времени между последовательными прибытиями М. С.П. к месту аварии. За некоторый срок прибыло 185 машин. В 67 случаях длительность между прибытием машин к месту происшествия была меньше 4 минут, а в 43 случаях эта длительность колебалась между 4 и 8 минутами. По данным результатам построить статистический ряд и гистограмму. Определить характеристики положения и разброса. Определить доверительный интервал прибытия М. С.П. Коэффициент Стьюдента при надежности 0,95 принять равным 1,96.